Em uma certa região do espaço livre (vácuo), o campo elétrico vale \mathbf{E}(\mathrm{t})=\mathrm{E}_{0} \cos (\omega t-\beta x) \mathbf{k}. Obtenha o campo magnético B nessa região, usando a equação de Maxwell conveniente. Resposta: B =-\left(\mathrm{E}_{0} \beta / \omega\right) \cos (\omega t-\beta x) \mathbf{j}.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico em vácuo
\mathbf{E}(x,t)=E_{0}\cos\bigl(\omega t-\beta x\bigr)\,\mathbf{k}
e pede o campo magnético \mathbf{B}(x,t). Como não há cargas livres nem correntes, usamos a lei de Faraday de Maxwell
\nabla\times \mathbf{E} \;=\;-\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.

Passo 2

Vamos calcular \nabla\times \mathbf{E}. Em coordenadas cartesianas, para \mathbf{E}=(0,0,E_{z}) vale
(\nabla\times \mathbf{E})_{y} =\frac{\partial E_{x}}{\partial z}-\frac{\partial E_{z}}{\partial x} =-\frac{\partial}{\partial x}\Bigl[E_{0}\cos(\omega t-\beta x)\Bigr] =-\beta E_{0}\sin(\omega t-\beta x).
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\nabla\times \mathbf{E} =-\beta E_{0}\sin(\omega t-\beta x)\,\mathbf{j}.

Passo 3

Pela lei de Faraday temos
-\beta E_{0}\sin(\omega t-\beta x)\,\mathbf{j} =-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \;\Longrightarrow\; \frac{\partial B_{y}}{\partial t} =\beta E_{0}\sin(\omega t-\beta x).
Integrando em t,
B_{y}(x,t) =\int \beta E_{0}\sin(\omega t-\beta x)\,dt =-\frac{\beta E_{0}}{\omega}\cos(\omega t-\beta x)+C(x).
Em vácuo e sem termo estático escolhemos C(x)=0, resultando
\mathbf{B}(x,t) =-\frac{E_{0}\,\beta}{\omega}\cos(\omega t-\beta x)\,\mathbf{j}.

Resposta

\mathbf{B}(x,t) =-\bigl(E_{0}\,\beta/\omega\bigr)\cos(\omega t-\beta x)\,\mathbf{j}.

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