Questảo 2 ( 5 pts) Utilize o teorema de Gauss para calcular o fluxo do campo vetorial
no longo da superficie fechada delimitada por
e
.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície fechada que envolve o volume
limitado por
, pelo paraboloide
e pela cilindro
. Vamos usar o Teorema de Gauss, que diz que
Passo 2
Calculamos a divergência de
:
Fazendo as derivadas:
Somando e simplificando os termos em
e
obtemos
Passo 3
O volume
em coordenadas cilíndricas
é dado por
O elemento de volume é
. A divergência depende só de
:
Passo 4
Pelo Teorema de Gauss, o fluxo é
Como não há
na divergência, integramos primeiro em
:
ficando
Passo 5
Desenvolvendo o integrando:
Integramos em
de 0 a 2:
Finalmente, integrating in
:
Resposta
O fluxo de
\displaystyle 208\pi).