Questảo 2 ( 5 pts) Utilize o teorema de Gauss para calcular o fluxo do campo vetorial
\hat{F}=\left(x^{3}+4 x y-x^{2}\right) \vec{i}+\left(y^{3}+x y-2 y^{2}\right) \vec{j}+(6 z+x z) \hat{k}
no longo da superficie fechada delimitada por z=0, z=2+x^{2}+y^{2} e x^{2}+y^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \hat{F}=(x^{3}+4xy-x^{2})\vec{i}+(y^{3}+xy-2y^{2})\vec{j}+(6z+xz)\hat{k} através da superfície fechada que envolve o volume V limitado por z=0, pelo paraboloide z=2+x^{2}+y^{2} e pela cilindro x^{2}+y^{2}=4. Vamos usar o Teorema de Gauss, que diz que
\iint_{\partial V}\hat{F}\cdot d\vec S \;=\;\iiint_{V}\bigl(\nabla\cdot\hat{F}\bigr)\,dV.

Passo 2

Calculamos a divergência de \hat{F}:
\nabla\cdot\hat{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}+4xy-x^{2}) +\frac{\partial}{\partial y}(y^{3}+xy-2y^{2}) +\frac{\partial}{\partial z}(6z+xz).
Fazendo as derivadas:
\frac{\partial}{\partial x}(x^{3}+4xy-x^{2}) =3x^{2}+4y-2x,
\frac{\partial}{\partial y}(y^{3}+xy-2y^{2}) =3y^{2}+x-4y,
\frac{\partial}{\partial z}(6z+xz) =6+x.
Somando e simplificando os termos em x e y obtemos
\nabla\cdot\hat{F} =3x^{2}+3y^{2}+6 =3\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)+6.

Passo 3

O volume V em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) é dado por
0\le r\le2,\quad 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le z\le2+r^{2}.
O elemento de volume é dV=r\,dr\,d\theta\,dz. A divergência depende só de r:
\nabla\cdot\hat{F}=3r^{2}+6.

Passo 4

Pelo Teorema de Gauss, o fluxo é
\iiint_{V}(3r^{2}+6)\,dV =\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{r=0}^{2}\!\int_{z=0}^{2+r^{2}}(3r^{2}+6)\,r\,dz\,dr\,d\theta.
Como não há z na divergência, integramos primeiro em z:
\int_{z=0}^{2+r^{2}}dz=2+r^{2},
ficando
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2}(3r^{2}+6)(2+r^{2})\,r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Desenvolvendo o integrando:
(3r^{2}+6)(2+r^{2})\,r =(3r^{4}+12r^{2}+12)\,r =3r^{5}+12r^{3}+12r.
Integramos em r de 0 a 2:
\int_{0}^{2}(3r^{5}+12r^{3}+12r)\,dr =3\frac{2^{6}}6+12\frac{2^{4}}4+12\frac{2^{2}}2 =32+48+24=104.
Finalmente, integrating in \theta:
\int_{0}^{2\pi}104\,d\theta=104\cdot2\pi=208\pi.

Resposta

O fluxo de \hat{F}\(através da superfície dada é\displaystyle 208\pi).

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