Uma partícula sofre três deslocamentos consecutivos: \Delta r^{\vec{r} \_1=(15 \hat{\imath}+30 \hat{\jmath}+12 \hat{k}) \mathrm{cm} \text {, }} \Delta r^{\rightarrow} \_2=(23 \hat{\imath}-14 \hat{\jmath}-5,0 \hat{k}) \mathrm{cm} e \Delta r^{\rightarrow} \_3=(-13 \hat{\imath}+15 \hat{\jmath}) \mathrm{cm}. Encontre a notação de vetor unitário para o deslocamento resultante e seu módulo.

Passo 1

O enunciado dá três deslocamentos em notação de vetores unitários e pede o deslocamento resultante (somando vetor a vetor) e o módulo desse resultado. O conteúdo é soma de vetores em componentes e cálculo de módulo por meio da raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes.

Passo 2

Extraímos as componentes \hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k} de cada deslocamento:
\Delta r_1 = (15,\,30,\,12)\,\text{cm},\quad \Delta r_2 = (23,\,-14,\,-5)\,\text{cm},\quad \Delta r_3 = (-13,\,15,\,0)\,\text{cm}.

Passo 3

Somamos componente a componente para obter o vetor resultante \Delta r:
x:\;15 + 23 + (-13) = 25,\quad y:\;30 + (-14) + 15 = 31,\quad z:\;12 + (-5) + 0 = 7.

Passo 4

Escrevendo em notação de vetor unitário, o deslocamento resultante é
\Delta r = 25\,\hat{\imath} + 31\,\hat{\jmath} + 7\,\hat{k}\quad(\text{cm}).

Passo 5

O módulo de \Delta r é dado por
\bigl|\Delta r\bigr| = \sqrt{25^{2} + 31^{2} + 7^{2}} = \sqrt{625 + 961 + 49} = \sqrt{1635} \approx 40{,}4\;\text{cm}.

Resposta

\displaystyle \Delta r = 25\,\hat{\imath} + 31\,\hat{\jmath} + 7\,\hat{k}\;\text{cm},\quad |\Delta r|\approx 40{,}4\;\text{cm}.

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