Integre a função dada sobre a superfície: H(x, y, z)=z sobre a parte da esfera x^{2}+y^{2}+ z^{2}=4 que está acima do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o integral de superfície
\iint_{S}H(x,y,z)\,dS
onde H(x,y,z)=z e S é a parte da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 que fica acima do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. O conteúdo envolvido é integral de superfície em coordenadas esféricas, usando a fórmula do elemento de área para esfera de raio fixo.

Passo 2

Parametrizamos a esfera de raio 2 em coordenadas esféricas por
x=2\sin\varphi\cos\theta,\quad y=2\sin\varphi\sin\theta,\quad z=2\cos\varphi,
com \theta\in[0,2\pi]. A condição de estar acima do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} equivale a
2\cos\varphi \ge 2\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \varphi \le \frac{\pi}{4}.
Logo \varphi\in[0,\tfrac\pi4].

Passo 3

Para uma esfera de raio 2, o elemento de área é
dS = R^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta = 4\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Na parametrização temos
H(x,y,z)=z=2\cos\varphi
e portanto o integrando H\,dS vira
2\cos\varphi \;\times\;4\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta =8\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

O integral pedido é
\iint_{S}z\,dS =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi/4}8\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi\,d\theta.
Primeiro em \varphi:
\int_{0}^{\pi/4}8\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi =8\int_{0}^{\pi/4}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi =8\cdot\frac{1}{2}\sin^{2}\varphi\Big|_{0}^{\pi/4} =4\cdot\frac{1}{2} =2.
Depois em \theta:
\int_{0}^{2\pi}2\,d\theta =4\pi.

Resposta

4\pi.

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