Calcule o fluxo do rotacional de \vec{F}=x z \vec{i}+x y \vec{j}+3 z x \vec{k} no plano 2 x+y+z=2 no primeiro octante, percorrida no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \nabla\times\vec F através do triângulo em que o plano 2x+y+z=2 intercepta os eixos coordenados no primeiro octante, com orientação tal que a curva de contorno é percorrida no sentido anti-horário quando vista de cima. O conteúdo é cálculo de integral de superfície de \nabla\times\vec F. Vamos:
  1. Calcular \nabla\times\vec F.
  2. Parametrizar a superfície como gráfico z=f(x,y).
  3. Encontrar o vetor \mathbf n\,dS.
  4. Fazer a integral dupla sobre a região projetada no plano xy.

Passo 2

Calculamos \nabla\times\vec F para \vec F=(P,Q,R)=(xz,\;xy,\;3zx).
\nabla\times\vec F =\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr) =(0,\;x-3z,\;y).

Passo 3

Escrevemos o plano como gráfico
z=2-2x-y,
válido para x\ge0, y\ge0 e 2-2x-y\ge0. A projeção no plano xy é o triângulo
D=\{(x,y)\mid x\in[0,1],\;y\in[0,\;2-2x]\}.

Passo 4

Para z=f(x,y) temos
\mathbf n\,dS=(-f_x,\,-f_y,1)\,dx\,dy=(2,1,1)\,dx\,dy,
que aponta com componente z positiva, compatível com sentido anti-horário na projeção. Então
(\nabla\times\vec F)\cdot\mathbf n =(0,\;x-3z,\;y)\cdot(2,1,1) =(x-3z)+y.
Substituindo z=2-2x-y,
x-3(2-2x-y)+y=7x+4y-6.

Passo 5

O fluxo é
\iint_S(\nabla\times\vec F)\cdot \mathbf n\,dS =\int_{x=0}^1\int_{y=0}^{2-2x}(7x+4y-6)\,dy\,dx.
Calculando a integral interna:
\int_0^{2-2x}(7x+4y-6)\,dy =-6x^2+10x-4.
Depois,
\int_0^1(-6x^2+10x-4)\,dx =\bigl[-2x^3+5x^2-4x\bigr]_0^1 =-1.

Resposta

-1

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