Calcule o fluxo do rotacional de
no plano
no primeiro octante, percorrida no sentido anti-horário quando vista de cima.
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através do triângulo em que o plano
intercepta os eixos coordenados no primeiro octante, com orientação tal que a curva de contorno é percorrida no sentido anti-horário quando vista de cima. O conteúdo é cálculo de integral de superfície de
. Vamos:
- Calcular
. - Parametrizar a superfície como gráfico
. - Encontrar o vetor
. - Fazer a integral dupla sobre a região projetada no plano
.
Passo 2
Calculamos
para
.
Passo 3
Escrevemos o plano como gráfico
válido para
,
e
. A projeção no plano
é o triângulo
Passo 4
Para
temos
que aponta com componente
positiva, compatível com sentido anti-horário na projeção. Então
Substituindo
,
Passo 5
O fluxo é
Calculando a integral interna:
Depois,