Encontre o fluxo de
para fora através através da superfície parametrizada do cone
Passo 1
O enunciado pede o fluxo de
através da superfície lateral do cone dado por
, com
, orientado para fora do volume interior ao cone fechado por esse lado mais o disco de topo em
. Vamos usar o Teorema da Divergência para o volume
limitado pela superfície lateral
e pelo disco
, depois subtrair o fluxo pelo disco para obter só o fluxo em
.
Passo 2
Aplicando o Teorema da Divergência, temos
Passo 3
Calculamos a divergência de
:
Passo 4
O volume
em coordenadas cilíndricas é dado por
Logo
Fazendo
e integrando em
, obtemos
Passo 5
Agora calculamos o fluxo através do disco superior
(
), cuja normal exterior é
. Em
vale
, e a área do disco é
. Assim
Passo 6
Do Teorema da Divergência: