Encontre o fluxo de \vec{F}=x y \vec{i}-z \vec{k} para fora através através da superfície parametrizada do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, 0 \leq z \leq 1

Passo 1

O enunciado pede o fluxo de \vec{F}(x,y,z)=xy\,\vec{i}-z\,\vec{k} através da superfície lateral do cone dado por z=\sqrt{x^2+y^2}, com 0\le z\le1, orientado para fora do volume interior ao cone fechado por esse lado mais o disco de topo em z=1. Vamos usar o Teorema da Divergência para o volume V limitado pela superfície lateral S_{\rm lat} e pelo disco S_{\rm top}, depois subtrair o fluxo pelo disco para obter só o fluxo em S_{\rm lat}.

Passo 2

Aplicando o Teorema da Divergência, temos
\iint_{S_{\rm lat}} \vec{F}\cdot d\vec{S} \;+\;\iint_{S_{\rm top}} \vec{F}\cdot d\vec{S} \;=\;\iiint_{V} \nabla\!\cdot\!\vec{F}\;dV.

Passo 3

Calculamos a divergência de \vec{F}:
\nabla\!\cdot\!\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}(xy)+\frac{\partial}{\partial y}(0)+\frac{\partial}{\partial z}(-z) =y-1.

Passo 4

O volume V em coordenadas cilíndricas é dado por
0\le r\le1,\quad 0\le\theta\le2\pi,\quad r\le z\le1.
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\iiint_{V}(y-1)\,dV =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}\!\!\int_{z=r}^{1}\bigl(r\sin\theta-1\bigr)\,r\,dz\,dr\,d\theta.
Fazendo \int_{z=r}^{1}dz=1-r e integrando em r,\theta, obtemos
\iiint_{V}(y-1)\,dV=-\frac{\pi}{3}.

Passo 5

Agora calculamos o fluxo através do disco superior S_{\rm top} ( z=1), cuja normal exterior é \vec{k}. Em z=1 vale \vec{F}\cdot\vec{k}=-1, e a área do disco é \pi. Assim
\iint_{S_{\rm top}}\vec{F}\cdot d\vec{S} =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{1}(-1)\,r\,dr\,d\theta =-\pi.

Passo 6

Do Teorema da Divergência:
\iint_{S_{\rm lat}}\vec{F}\cdot d\vec{S} =\iiint_{V}\nabla\!\cdot\!\vec{F}\,dV \;-\;\iint_{S_{\rm top}}\vec{F}\cdot d\vec{S} =-\frac{\pi}{3}-(-\pi) =\frac{2\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2\pi}{3}

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