Calcule a integral de superficie para a função H(x, y, z)=z no cilindro parabólico y= x^{2}, 0 \leq x \leq 1,0 \leq z \leq 4

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S}H(x,y,z)\,dS
onde H(x,y,z)=z e S é a superfície dada pelo cilindro parabólico
y = x^2,\quad 0\le x\le1,\quad 0\le z\le4.
O conteúdo aqui é integral de superfície de função escalar; vamos usar parametrização para transformar em integral dupla num domínio plano.

Passo 2

Parametrizamos S por
\mathbf r(x,z) = \bigl(x,\;x^2,\;z\bigr),
com (x,z) variando no retângulo
D = \{(x,z)\mid 0\le x\le1,\;0\le z\le4\}.

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes e o elemento de área:
\mathbf r_x = (1,\,2x,\,0),\quad \mathbf r_z = (0,\,0,\,1),
\mathbf r_x \times \mathbf r_z = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 1 & 2x & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (2x,\;-1,\;0),
\bigl\|\mathbf r_x \times \mathbf r_z\bigr\| = \sqrt{(2x)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4x^2 + 1}.
Logo
dS = \sqrt{4x^2+1}\;dx\,dz.

Passo 4

Substituindo H=z e dS na integral de superfície, temos
\iint_{S} z\,dS = \int_{x=0}^{1}\!\int_{z=0}^{4} z\,\sqrt{4x^2+1}\;dz\,dx.

Passo 5

Como \sqrt{4x^2+1} não depende de z, integramos primeiro em z:
\int_{z=0}^{4} z\,dz = \left[\frac{z^2}{2}\right]_{0}^{4} = 8.
Fica
\iint_{S} z\,dS = 8 \int_{0}^{1} \sqrt{4x^2+1}\;dx.

Passo 6

Para calcular \displaystyle \int_{0}^{1}\sqrt{4x^2+1}\,dx, fazemos u=2x, du=2\,dx, x=0\mapsto u=0, x=1\mapsto u=2:
\int_{0}^{1}\sqrt{4x^2+1}\,dx = \int_{0}^{2} \sqrt{u^2+1}\,\frac{du}{2} = \frac12\!\int_{0}^{2}\sqrt{u^2+1}\,du.
Sabemos
\int \sqrt{u^2+1}\,du = \frac{u}{2}\sqrt{u^2+1} + \frac12\ln\bigl(u + \sqrt{u^2+1}\bigr),
portanto
\int_{0}^{2}\sqrt{u^2+1}\,du = \left[\frac{u}{2}\sqrt{u^2+1} + \frac12\ln\bigl(u + \sqrt{u^2+1}\bigr)\right]_{0}^{2} = \sqrt{5} + \tfrac12\ln\bigl(2+\sqrt{5}\bigr).
Assim
\int_{0}^{1}\sqrt{4x^2+1}\,dx = \frac12\Bigl(\sqrt{5} + \tfrac12\ln(2+\sqrt{5})\Bigr) = \frac{\sqrt5}{2} + \frac{1}{4}\ln\bigl(2+\sqrt5\bigr).
Multiplicando por 8
8\int_{0}^{1}\sqrt{4x^2+1}\,dx = 8\Bigl(\frac{\sqrt5}{2} + \frac{1}{4}\ln(2+\sqrt5)\Bigr) = 4\sqrt5 + 2\ln\bigl(2+\sqrt5\bigr).

Resposta

\iint_{S} z\,dS = 4\sqrt5 \;+\; 2\ln\bigl(2 + \sqrt5\bigr).

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