Calcule o foco, o vértice e a diretriz das parábolas abaixo:
x^2+6 y=6

Passo 1

O enunciado pede para calcular o foco, o vértice e a diretriz da parábola dada por x^2 + 6y = 6. O conteúdo é Seções Cônicas (parábola) e vamos precisar reescrever a equação na forma padrão (x-h)^2 = 4p(y-k) para identificar h,k e p.

Passo 2

Vamos isolar y e escrever a equação em forma de parâbola com eixo vertical. De x^2 + 6y = 6 vem:
x^2 = 6 - 6y
colocando em evidência o termo (y - 1):
x^2 = -6l(y - 1r)

Passo 3

Agora comparamos com a forma padrão x^2 = 4p(y - k). Da igualdade
4p = -6,
é fácil ver que
p = -64 = -tfrac32
e que h=0 e k=1.

Passo 4

Sabendo h,k,p, o vértice é (h,k), o foco é (h, k + p) e a diretriz é a reta y = k - p. Calculando:
  • Vértice: (0,1)
  • Foco: l(0, 1 - tfrac32r) = (0, -tfrac12)
  • Diretriz: y = 1 - (-tfrac32) = tfrac52

Passo 5

Pronto! Encontramos todos os elementos da parábola.

Resposta

Vértice: (0,1); Foco: (0, -1/2); Diretriz: y = 5/2

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