Encontre todos os polinômios irredutíveis em Z2[x] com grau <= 3. Mostre que existem polinômios redutíveis em Z2[x] de grau 4 que não têm raízes em Z2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os polinômios irreduzíveis em Z2[x] de grau menor ou igual a 3 e, em seguida, mostrar que há polinômios de grau 4 que são redutíveis mas não têm raízes em Z2. Vamos usar conceitos de irreduzibilidade em corpos finitos: testar raízes para graus 1, 2 e 3 e fatorações em Z2[x].

Passo 2

Em Z2[x] todo polinômio de grau 1 é irreduzível, pois não pode ser fatorado em fatores não constantes. Logo, os irreduzíveis de grau 1 são x e x+1.

Passo 3

Para grau 2 basta verificar se há raiz em 0,1. O único polinômio de grau 2 que não se anula em 0 nem em 1 é x^2 + x + 1. Assim, ele é irreduzível.

Passo 4

Para grau 3, um polinômio monico x^3 + ax^2 + bx + c é irredutível se não tiver raiz em 0,1. Como em Z2 só existem dois valores, basta exigir c=1 (para não anular em 0) e que o número de coeficientes iguais a 1 no polinômio seja ímpar (para não anular em 1). Fazendo isso aparecem exatamente dois: x^3 + x + 1 e x^3 + x^2 + 1.

Passo 5

Para grau 4 mostramos que existe polinômio redutível que não tenha raízes em Z2. Considere o quadrado do irreduzível de grau 2:
(x^2 + x + 1)^2 = x^4 + x^2 + 1

Passo 6

Verificamos que x^4 + x^2 + 1 não se anula em 0 (dá 1) nem em 1 (dá 1) e, por ser quadrado de x^2 + x + 1, é claramente redutível em Z2[x].

Resposta

Os polinômios irreduzíveis em Z2[x] de grau ≤3 são:
• Grau 1: x, x+1.
• Grau 2: x^2 + x + 1.
• Grau 3: x^3 + x + 1, x^3 + x^2 + 1.
Um exemplo de polinômio de grau 4 que é redutível, mas não tem raízes em Z2, é
x^4 + x^2 + 1 = (x^2 + x + 1)^2

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