Encontre todos os polinômios irredutíveis em
com grau
. Mostre que existem polinômios redutíveis em
de grau 4 que não têm raízes em
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todos os polinômios irreduzíveis em
de grau menor ou igual a 3 e, em seguida, mostrar que há polinômios de grau 4 que são redutíveis mas não têm raízes em
. Vamos usar conceitos de irreduzibilidade em corpos finitos: testar raízes para graus 1, 2 e 3 e fatorações em
.
Passo 2
Em
todo polinômio de grau 1 é irreduzível, pois não pode ser fatorado em fatores não constantes. Logo, os irreduzíveis de grau 1 são
e
.
Passo 3
Para grau 2 basta verificar se há raiz em
. O único polinômio de grau 2 que não se anula em 0 nem em 1 é
. Assim, ele é irreduzível.
Passo 4
Para grau 3, um polinômio monico
é irredutível se não tiver raiz em
. Como em
só existem dois valores, basta exigir
(para não anular em 0) e que o número de coeficientes iguais a 1 no polinômio seja ímpar (para não anular em 1). Fazendo isso aparecem exatamente dois:
e
.
Passo 5
Para grau 4 mostramos que existe polinômio redutível que não tenha raízes em
. Considere o quadrado do irreduzível de grau 2:
Passo 6
Verificamos que
não se anula em 0 (dá 1) nem em 1 (dá 1) e, por ser quadrado de
, é claramente redutível em
.
Resposta
Os polinômios irreduzíveis em
de grau ≤3 são:
• Grau 1: ,
.
• Grau 2: .
• Grau 3: ,
.
• Grau 1:
• Grau 2:
• Grau 3:
Um exemplo de polinômio de grau 4 que é redutível, mas não tem raízes em
, é