Seja F: R^3 R^3 o operador linear cuja matriz na base canônica é
(ccc 2 & 1 & 0 0 & -1 & 0 0 & 0 & 2 )
Calculamos na aula que carF=(x-2)^2(x+1) e mF=(x-2)(x+1). Definamos V1=ker(F-2 id) e V1=ker(F+id). Verifique as seguintes afirmações com uma conta direta (ou seja, sem usar os teoremas correspondentes que provamos na aula).
(1) V=V1 oplus V2;
(2) V1 e V2 são F-invariantes. Ou seja, se v in Vi(com i=1,2), então F(v) in Vi.
(3) Seja Fi a restrição de F para Vi. Mostre que mF1=x-2 e mF2=x+1.
(4) Ache, para i=1,2, vi in Vi tal que mFi, vi=mFi.
(5) Sejam v1 e v2 como no item anterior. Verifique, para v=v1+v2, que mF, v=mF.

Passo 1

O enunciado define um operador linear F em R^3 cuja matriz na base canônica é
A=2&1&00&-1&00&0&2,
com polinômio característico (x-2)^2(x+1) e polinômio mínimo (x-2)(x+1). Definimos os subespaços
V1=ker(F-2,id) e V2=ker(F+id). Vamos verificar diretamente:
(1) que V=V1oplus V2, (2) que cada Vi é F-invariante, (3) os polinômios mínimos de F|Vi, (4) encontrar vetores cíclicos viin Vi e (5) mostrar que v=v1+v2 é cíclico para F.

Passo 2

Calculamos primeiro as bases e dimensões de V1 e V2. Para isso montamos:
F-2I=0&1&00&-3&00&0&0,
resolvendo (F-2I)(x,y,z)=0 obtemos y=0 e x,z livres. Logo
V1=span(1,0,0),(0,0,1),
com dim V1=2.
Para
F+I=3&1&00&0&00&0&3,
resolvendo (F+I)(x,y,z)=0 obtemos y=-3x,;z=0. Logo
V2=span(1,-3,0),
com dim V2=1.

Passo 3

Agora verificamos que V1oplus V2=V. De um lado
dim V1+dim V2=2+1=3=dim V. Do outro, se vin V1cap V2, então
v=(a,0,c) e ao mesmo tempo v=lambda(1,-3,0). Da segunda coordenação vem 0=-3lambdaRightarrowlambda=0 e daí v=(0,0,c); mas em V2 temos z=0, logo c=0 e v=0. Assim a interseção é {0}, mostrando soma direta.

Passo 4

Para a F-invariância, note que se vin V1 então (F-2I)v=0, ou seja F(v)=2vin V1. Analogamente se vin V2 então (F+I)v=0, ou seja F(v)=-vin V2. Portanto cada Vi é levado em si por F.

Passo 5

A restrição F1=F|V1 age como F1(v)=2v em todo V1, logo seu polinômio mínimo é
mF1(x)=x-2
De modo análogo F2=F|V2 satisfaz F2(v)=-v e
mF2(x)=x+1

Passo 6

Como V1 e V2 são espaços de autovetores, qualquer vetor não nulo em cada um gera o polinômio mínimo da restrição. Podemos escolher
v1=(1,0,0)in V1,
que satisfaz F(v1)=2v1 e portanto mF1,v1=x-2, e
v2=(1,-3,0)in V2,
que satisfaz F(v2)=-v2 e portanto mF2,v2=x+1.

Passo 7

Finalmente, seja v=v1+v2=(2,-3,0). Calculamos
(F+I)v=F(v)+v=(1,3,0)+(2,-3,0)=(3,0,0)neq0,
(F-2I)v=F(v)-2v=(1,3,0)-(4,-6,0)=(-3,9,0)neq0,
e por fim
(F-2I)(F+I)v=(F-2I)(3,0,0)=F(3,0,0)-2(3,0,0)=(6,0,0)-(6,0,0)=(0,0,0)
Isso mostra que o menor polinômio que anula v é
(x-2)(x+1)=mF(x),
isto é, mF,v=mF.

Resposta

Todas as afirmações 1–5 estão verificadas. Em particular
V=V_1\oplus V_2,
ambos são F-invariantes,
m_{F_1}=x-2,
m_{F_2}=x+1,
v_1=(1,0,0),
v_2=(1,-3,0)
eu m_{F,v}=(x-2)(x+1)=m_F.

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