Q 2: Calcule os focos, caso existam, da seguinte cônica
8 x^{2}+y^{2}=1
A) N.d.A
a) \left(\sqrt{\frac{8}{7}}, 0\right) e \left(-\sqrt{\frac{8}{7}}, 0\right)
b) \left(0, \sqrt{\frac{7}{8}},\right) e \left(0,-\sqrt{\frac{7}{8}}\right)
d) \left(\sqrt{\frac{7}{8}}, 0\right) e\left(-\sqrt{\frac{7}{8}}, 0\right)
e) \left(0, \sqrt{\frac{8}{7}},\right) e \left(0,-\sqrt{\frac{8}{7}}\right)

Passo 1

O enunciado pede os focos da cônica
8x^{2}+y^{2}=1
que é uma elipse. Para encontrar os focos, precisamos levá-la à forma canônica e então usar a relação c^{2}=a^{2}-b^{2}.

Passo 2

Escrevendo em forma padrão de elipse:
\frac{x^{2}}{1/8}+\frac{y^{2}}{1}=1.

Passo 3

Identificamos os semi-eixos quadrados:
a^{2}=\max\{1/8,1\}=1, \quad b^{2}=\min\{1/8,1\}=1/8.
Como a^{2} está sob y^{2}, o eixo maior é vertical.

Passo 4

Calculamos
c^{2}=a^{2}-b^{2}=1-\tfrac{1}{8}=\tfrac{7}{8},
logo
c=\sqrt{\tfrac{7}{8}}.

Passo 5

Os focos estão ao longo do eixo y, em
(0,c)\quad\text{e}\quad(0,-c),
isto é,
\bigl(0,\sqrt{\tfrac{7}{8}}\bigr) \quad\text{e}\quad \bigl(0,-\sqrt{\tfrac{7}{8}}\bigr).

Resposta

b) \bigl(0,\sqrt{\tfrac{7}{8}}\bigr) e \bigl(0,-\sqrt{\tfrac{7}{8}}\bigr)

Exercícios relacionados