Encontre a segunda derivada y^{\prime \prime} de
y=\frac{\ln x}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada y'' da função
y = \frac{\ln(x)}{x^{2}}.
O conteúdo envolve derivação de um quociente, mas é mais direto usar a regra do produto junto com a regra da cadeia, reescrevendo y em forma de potência.

Passo 2

Reescrevemos
y = \ln(x)\,\cdot x^{-2}.
Para aplicar a regra do produto, definimos u(x)=\ln(x) e v(x)=x^{-2}, cujas derivadas são
u'(x)=\frac{1}{x}, \quad v'(x)=-2\,x^{-3}.
Logo, pela regra do produto,
y' = u'\,v + u\,v' = \frac{1}{x}\,x^{-2} + \ln(x)\,(-2x^{-3}).

Passo 3

Simplificando cada termo de y',
\frac{1}{x}\,x^{-2} = x^{-3}, \quad \ln(x)\,(-2x^{-3}) = -2x^{-3}\ln(x),
assim
y' = x^{-3} - 2x^{-3}\ln(x) = x^{-3}\bigl(1 - 2\ln(x)\bigr).

Passo 4

Para obter y'', derivamos
y' = \bigl(1 - 2\ln(x)\bigr)\,x^{-3}.
Aplicamos novamente a regra do produto, com
P(x)=1 - 2\ln(x),\quad P'(x)=-\frac{2}{x}, \quad Q(x)=x^{-3},\quad Q'(x)=-3x^{-4}.
Logo,
y'' = P'\,Q + P\,Q' = \Bigl(-\frac{2}{x}\Bigr)\,x^{-3} + \bigl(1 - 2\ln(x)\bigr)\,(-3x^{-4}).

Passo 5

Calculando e simplificando,
-\frac{2}{x}\,x^{-3} = -2x^{-4}, \quad \bigl(1 - 2\ln(x)\bigr)(-3x^{-4}) = -3x^{-4} + 6x^{-4}\ln(x).
Somando,
y'' = -2x^{-4} -3x^{-4} +6x^{-4}\ln(x) = x^{-4}\bigl(6\ln(x) -5\bigr).

Resposta

y'' = \frac{6\ln(x) - 5}{x^{4}}.

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