1- Em um conduto de ferro fundido usado com 200 mm de diâmetro, a pressão em um ponto A é de 235.440 \mathrm{~Pa}(24 \mathrm{mCA}) e no ponto \mathrm{B}, 1 \mathrm{~km} adiante e 1,4 \mathrm{~m} acima da cota \mathrm{Z}_{\mathrm{A}} é de 176.580 \mathrm{~Pa}(18 \mathrm{mCA}). Calcular a vazão que circula no sistema utilizando as equações de Hazen-Williams ( \mathrm{C}=100 ), de Darcy ( \mathrm{m}^{\prime}=11,571 ) e de Darcy Weisbach ( \mathrm{k}=3 \mathrm{~mm} ). O líquido que escoa é água ( ~ v=10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, \quad \gamma= 9810 \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3} ). Confrontar os resultados encontrados com as diferentes equações.

Passo 1

O enunciado fornece um trecho de tubulação de ferro fundido de diâmetro \,D=0,200\text{ m}, comprimento L=1\,000\text{ m}, em que a pressão no ponto A é p_A=235\,440\text{ Pa} (equivalente a 24\text{ mCA}) e no ponto B, situado 1{,}4\text{ m} acima, é p_B=176\,580\text{ Pa} (equivalente a 18\text{ mCA}). Queremos determinar a vazão Q usando:
– Equação de Hazen–Williams C=100,
– Equação empírica de Darcy com coeficiente m'=11{,}571,
– Equação de Darcy–Weisbach k=3\text{ mm}.
Para isso precisaremos calcular a perda de carga total h_L entre A e B e depois inverter cada fórmula para obter Q.

Passo 2

Usando a equação da energia entre A e B (velocidades iguais e sem outros termos), a perda de carga é
h_L = \frac{p_A}{\gamma} + z_A \;-\;\Bigl(\frac{p_B}{\gamma} + z_B\Bigr),
com \gamma=9\,810\text{ N/m}^3, \tfrac{p_A}{\gamma}=235440/9810=24\text{ m}, \tfrac{p_B}{\gamma}=176580/9810=18\text{ m} e z_B - z_A=1{,}4\text{ m}. Logo
h_L = 24 - (18 + 1{,}4) = 4{,}6\text{ m}.

Passo 3

Equação de Hazen–Williams:
h_L = 10,67 \,\frac{L\,Q^{1,852}}{C^{1,852}\,D^{4,87}} \quad\Longrightarrow\quad Q = \left(\frac{h_L\,C^{1,852}\,D^{4,87}}{10,67\,L}\right)^{\!1/1{,}852}.
Numericamente,
C^{1,852}=100^{1,852}\approx5{,}062,\quad D^{4,87}=0,2^{4,87}\approx3{,}9\times10^{-4},
Q = \Bigl(\tfrac{4{,}6\times5{,}062\times3{,}9\!}\times10^{-4}}{10,67\times1000}\Bigr)^{0{,}540} \approx0{,}0221\text{ m}^3\!/s.

Passo 4

Equação empírica de Darcy (coeficiente constante m'):
h_L = m'\,L\,Q^2 \quad\Longrightarrow\quad Q = \sqrt{\frac{h_L}{m'\,L}} = \sqrt{\frac{4{,}6}{11{,}571\times1000}} \approx0{,}01994\text{ m}^3\!/s.

Passo 5

Equação de Darcy–Weisbach com rugosidade \,k=3\text{ mm}. Primeiro definimos
A = \frac{\pi D^2}{4}\approx0{,}0314\text{ m}^2, \quad Q_{\text{ini}}\approx0{,}02\text{ m}^3\!/s
para calcular velocidade inicial v=Q/A\approx0{,}636\text{ m/s} e número de Reynolds \mathrm{Re}=vD/\nu\approx1{,}27\times10^5. Usamos a fórmula de Swamee–Jain para f:
f = 0{,}25\Bigl[\log_{10}\bigl(\tfrac{k}{3{,}7D}+\tfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0,9}}\bigr)\Bigr]^{-2} \approx0{,}0443.
Então invertemos
h_L = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g} \quad\Longrightarrow\quad Q = A\,\sqrt{\frac{2gD\,h_L}{f\,L}} \approx0{,}02\text{ m}^3\!/s.

Passo 6

Comparando os resultados:
– Hazen–Williams: Q\approx0{,}0221\text{ m}^3\!/s
– Darcy empírico m'=11{,}571: Q\approx0{,}0199\text{ m}^3\!/s
– Darcy–Weisbach (rugosidade k=3\text{ mm}): Q\approx0{,}02\text{ m}^3\!/s

Resposta

Hazen–Williams: Q\approx0{,}0221\text{ m}^3\!/s
Darcy (empírico): Q\approx0{,}0200\text{ m}^3\!/s
Darcy–Weisbach: Q\approx0{,}0200\text{ m}^3\!/s

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