Suponha que f(z)=u(x, y)+i v(x, y) é uma função analítica. Podemos afirmar que g(z)=v(x, y)+i u(x, y) também é analítica? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado diz que f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y) é analítica, ou seja, as funções reais u e v satisfazem as equações de Cauchy–Riemann. Queremos saber se
g(z)=v(x,y)+i\,u(x,y)
também é analítica. Para isso, vamos aplicar as condições de Cauchy–Riemann a f e a g.

Passo 2

Como f é analítica, sabemos que
u_x = v_y \quad\text{e}\quad u_y = -\,v_x,
onde subscrito x ou y indica derivada parcial.

Passo 3

Para g(z)=p(x,y)+i\,q(x,y) com p(x,y)=v(x,y) e q(x,y)=u(x,y), as equações de Cauchy–Riemann exigem
p_x = q_y \quad\text{e}\quad p_y = -\,q_x,
ou seja
v_x = u_y \quad\text{e}\quad v_y = -\,u_x.

Passo 4

Substituindo as igualdades de CR de f em cada uma:
  • De v_x = u_y e de u_y = -\,v_x (vinda de f) tiramos
v_x = -\,v_x \;\Longrightarrow\; v_x = 0.
  • De v_y = -\,u_x e de u_x = v_y (vinda de f) tiramos
v_y = -\,v_y \;\Longrightarrow\; v_y = 0.

Passo 5

Como v_x=0 e v_y=0 em toda parte, v é constante. Pelas equações de Cauchy–Riemann de f, isso força também u a ser constante. Logo, a única forma de g satisfazer as equações de Cauchy–Riemann é quando u e v são constantes, isto é, quando f é constante.

Resposta

Não. A função g(z)=v(x,y)+i\,u(x,y) só é analítica no caso trivial em que f é constante. Caso contrário, g não satisfaz as equações de Cauchy–Riemann.

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