Suponha que
é uma função analítica. Podemos afirmar que
também é analítica? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado diz que
é analítica, ou seja, as funções reais
e
satisfazem as equações de Cauchy–Riemann. Queremos saber se
também é analítica. Para isso, vamos aplicar as condições de Cauchy–Riemann a
e a
.
Passo 2
Como
é analítica, sabemos que
onde subscrito
ou
indica derivada parcial.
Passo 3
Para
com
e
, as equações de Cauchy–Riemann exigem
ou seja
Passo 4
Substituindo as igualdades de CR de
em cada uma:
- De
e de (vinda de ) tiramos
- De
e de (vinda de ) tiramos
Passo 5
Como
e
em toda parte,
é constante. Pelas equações de Cauchy–Riemann de
, isso força também
a ser constante. Logo, a única forma de
satisfazer as equações de Cauchy–Riemann é quando
e
são constantes, isto é, quando
é constante.
Resposta
Não. A função
só é analítica no caso trivial em que
é constante. Caso contrário,
não satisfaz as equações de Cauchy–Riemann.