Calcule a forma quadrática boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x}, em que A= \left[\begin{array}{rr}5 & 1 / 3 \\\\ 1 / 3 & 1\end{array}\right] e: boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{l}6 \\\\ 1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para calcular a forma quadrática \boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x} onde estão dadas:
Informações relevantes fornecidas: \;a_{11}=5,\;a_{12}=a_{21}=\dfrac{1}{3},\;a_{22}=1 e \;x_{1}=6,\;x_{2}=1.
A tarefa é obter o número real \boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x}.]
Passo 2
Como vamos calcular? Uma forma prática e direta é primeiro calcular o vetor \;A\boldsymbol{x}\; (multiplicação matriz-por-vetor) e depois fazer o produto interno \boldsymbol{x}^{T}(A\boldsymbol{x}) (produto escalar entre dois vetores). Vou usar esse caminho porque é sistemático e fácil de seguir passo a passo.
Explicando as operações usadas:
Multiplicação matriz-por-vetor: se \;A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\\ a_{21}&a_{22}\end{pmatrix} e \boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix}, então
Agora calculamos \boldsymbol{x}^{T}(A\boldsymbol{x}) como produto escalar entre \boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}6\\\ 1\end{pmatrix} e A\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}\dfrac{91}{3}\\\ 3\end{pmatrix}:
Para reforçar a ideia, vou mostrar um método alternativo (útil na prova): para matrizes simétricas 2\times2 a forma quadrática também pode ser escrita explicitamente como
Resumo final e dica de prova: calcular A\boldsymbol{x} e depois \boldsymbol{x}^{T}(A\boldsymbol{x}) é um procedimento seguro; para matrizes pequenas e simétricas a fórmula expandida também é rápida. Confie nas frações e faça as contas reduzindo para números inteiros quando possível (como eu transformei 30+\tfrac{1}{3} em \tfrac{91}{3} e simplifiquei depois).