Calcule a forma quadrática boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x}, em que A= \left[\begin{array}{rr}5 & 1 / 3 \\\\ 1 / 3 & 1\end{array}\right] e:
boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{l}6 \\\\ 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a forma quadrática \boldsymbol{x}^{T} A \boldsymbol{x} onde estão dadas:
A=\begin{pmatrix}5 & \dfrac{1}{3} \\[4pt] \dfrac{1}{3} & 1\end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}6 \\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
\;a_{11}=5,\;a_{12}=a_{21}=\dfrac{1}{3},\;a_{22}=1 e \;x_{1}=6,\;x_{2}=1.
A tarefa é obter o número real \boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x}.]

Passo 2

Como vamos calcular? Uma forma prática e direta é primeiro calcular o vetor \;A\boldsymbol{x}\; (multiplicação matriz-por-vetor) e depois fazer o produto interno \boldsymbol{x}^{T}(A\boldsymbol{x}) (produto escalar entre dois vetores). Vou usar esse caminho porque é sistemático e fácil de seguir passo a passo.
Explicando as operações usadas:
  • Multiplicação matriz-por-vetor: se \;A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\\ a_{21}&a_{22}\end{pmatrix} e \boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix}, então
A\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}a_{11}x_1+a_{12}x_2\\[4pt] a_{21}x_1+a_{22}x_2\end{pmatrix}.
  • Produto escalar (dot product): se \boldsymbol{u}=\begin{pmatrix}u_1\u_2\end{pmatrix} e \boldsymbol{v}=\begin{pmatrix}v_1\v_2\end{pmatrix}, então
\boldsymbol{u}^{T}\boldsymbol{v}=u_1v_1+u_2v_2.]

Passo 3

Calcular \;A\boldsymbol{x} usando a definição acima.
A\boldsymbol{x} =\begin{pmatrix}5 & \dfrac{1}{3} \\[4pt] \dfrac{1}{3} & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}6\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\cdot 6 + \dfrac{1}{3}\cdot 1 \\[6pt] \dfrac{1}{3}\cdot 6 + 1\cdot 1\end{pmatrix}.
Agora fazemos as contas passo a passo:
5\cdot 6 = 30,\qquad \dfrac{1}{3}\cdot 1 = \dfrac{1}{3},
logo a primeira entrada é
30 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{90}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{91}{3}.
Para a segunda entrada:
\dfrac{1}{3}\cdot 6 = 2,\qquad 2 + 1 = 3.
Portanto
A\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}\dfrac{91}{3}\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculamos \boldsymbol{x}^{T}(A\boldsymbol{x}) como produto escalar entre \boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}6\\\ 1\end{pmatrix} e A\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}\dfrac{91}{3}\\\ 3\end{pmatrix}:
\boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x} =6\cdot \dfrac{91}{3} + 1\cdot 3.
Fazendo as multiplicações:
6\cdot \dfrac{91}{3}=\dfrac{6}{3}\cdot 91=2\cdot 91=182,
e somando o termo restante:
182+3=185.
Logo a forma quadrática vale \;185.

Passo 5

Para reforçar a ideia, vou mostrar um método alternativo (útil na prova): para matrizes simétricas 2\times2 a forma quadrática também pode ser escrita explicitamente como
\boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x}=a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+a_{22}x_2^2.
Usando \;a_{11}=5,\;a_{12}=\dfrac{1}{3},\;a_{22}=1,\;x_1=6,\;x_2=1:
5\cdot 6^2 + 2\cdot \dfrac{1}{3}\cdot 6\cdot 1 + 1\cdot 1^2 =5\cdot 36 + 2\cdot \dfrac{6}{3} + 1 =180 + 2\cdot 2 + 1 =180 + 4 + 1 =185.
Esse cálculo confirma o resultado anterior.

Passo 6

Resumo final e dica de prova: calcular A\boldsymbol{x} e depois \boldsymbol{x}^{T}(A\boldsymbol{x}) é um procedimento seguro; para matrizes pequenas e simétricas a fórmula expandida também é rápida. Confie nas frações e faça as contas reduzindo para números inteiros quando possível (como eu transformei 30+\tfrac{1}{3} em \tfrac{91}{3} e simplifiquei depois).

Resposta

185

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