Calcule a fórmula de Taylor, centrada em x=0, para a função f(x)=\cos x.
\begin{aligned} & f(x)=f(0)+\frac{f^{\prime}(0)}{1!} \cdot x+\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2!} \cdot x^{2}+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!} \cdot x^{n}+\cdots \\\ & f(0)=\cos 0=1 \\\ & f^{\prime}(x)=-\operatorname{sen} x \Rightarrow f^{\prime}(0)=-\operatorname{sen} 0=0 \\\ & f^{\prime \prime}(x)=-\cos x \Rightarrow f^{\prime \prime}(0)=-\cos 0=-1 \\\ & f^{\prime \prime \prime}(x)=\operatorname{sen} x \Rightarrow f^{\prime \prime \prime}(0)=\operatorname{sen} 0=0 \\\ & f^{\prime \prime}(x)=\cos x \Rightarrow f^{\prime \prime}(0)=\cos 0=1 \end{aligned}
Substituindo:
f(x)=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\frac{x^{8}}{8!}+\cdots=\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^{i} \cdot \frac{x^{2 i}}{(2 i)!}

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=\cos x centrada em x=0, ou seja, a série de Maclaurin. Vamos usar a fórmula
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n
e, para isso, precisamos encontrar um padrão para as derivadas de \cos x avaliadas em 0.

Passo 2

Calculemos as primeiras derivadas de f(x)=\cos x e suas avaliações em 0:
\begin{aligned} f(x)&=\cos x, & f(0)&=\cos0=1,\\\ f'(x)&=-\sin x, & f'(0)&=-\sin0=0,\\\ f''(x)&=-\cos x, & f''(0)&=-\cos0=-1,\\\ f'''(x)&=\sin x, & f'''(0)&=\sin0=0,\\\ f^{(4)}(x)&=\cos x, & f^{(4)}(0)&=\cos0=1. \end{aligned}
Perceba que o padrão se repete a cada quatro derivadas.

Passo 3

Como f^{(n)}(0) segue o ciclo
1,\;0,\;-1,\;0,\;1,\;0,\;-1,\;0,\dots
apenas os termos com n par são não nulos. Escrevendo n=2i, temos
f^{(2i)}(0)=(-1)^i, \qquad f^{(2i+1)}(0)=0.

Passo 4

Substituindo na fórmula de Maclaurin, só aparecem os termos n=2i:
\cos x =\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n =\sum_{i=0}^\infty\frac{f^{(2i)}(0)}{(2i)!}\,x^{2i} =\sum_{i=0}^\infty\frac{(-1)^i}{(2i)!}\,x^{2i}.

Resposta

\cos x =\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^{i}\,\frac{x^{2i}}{(2i)!} =1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots

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