O raio de um círculo está aumentado a uma taxa de 3 centímetros por segundo. Em determinado instante t_{0} o raio é de 8 centímetros. Qual é a taxa de variação da área A(t) do círculo neste instante? Dado, área do círculo de raio r : A=\pi r^{2}.
\begin{aligned} & A=\pi r^{2}, \text { sendo } r=r(t) \\\ & \text { Derivando em } r \text { elacaat at: } \\\ & \frac{d A}{d t}=\frac{d}{d t}\left(\pi r^{2}\right) \Rightarrow \frac{d A}{d t}=\pi \cdot 2 r \cdot \frac{d r}{d t} \\\ & \text { Com } r=8 \mathrm{~cm} \text { e } d r / d t=3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} \text { : } \\\ & \frac{d A}{d t}=\pi \cdot 2.8 \cdot 3=48 \pi \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s} . \end{aligned}

Passo 1

O enunciado diz que o raio de um círculo varia com o tempo segundo \displaystyle \frac{dr}{dt}=3, \mathrm{cm/s}
e que, num certo instante t_{0}, vale r=8, \mathrm{cm}.
Queremos a taxa de variação da área A(t), sabendo que
A=\pi r^{2}.

Passo 2

Como r depende de t, usamos a regra da cadeia para derivar A em relação a t:
\frac{dA}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl(\pi r^{2}\bigr) =\pi\cdot 2r\cdot \frac{dr}{dt} =2\pi\,r\,\frac{dr}{dt}.

Passo 3

No instante em que r=8, \mathrm{cm} e \frac{dr}{dt}=3, \mathrm{cm/s}, substituímos na expressão:
\frac{dA}{dt} =2\pi\cdot 8\cdot 3 =48\pi.

Passo 4

Isso significa que, naquele instante, a área do círculo cresce à razão de 48\pi, \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s}.

Resposta

\frac{dA}{dt}=48\pi\\ \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s}.

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