Um granjeiro deseja construir um galinheiro com formato retangular, usando como um dos lados uma parede de sua casa. Calcule:
Se o granjeiro quisesse construir um galinheiro com área de 16 m^{2}, quais as dimensões que utilizariam a menor quantidade de material para a cerca?

Passo 1

O enunciado pede as dimensões de um galinheiro retangular que usa como um dos lados uma parede da casa, de modo que só precisamos cercar três lados. A área deve ser de \,16\text{ m}^2. O conteúdo é otimização de função de uma variável usando derivada para encontrar mínimo de perímetro (quantidade de cerca).

Passo 2

Escolhemos variáveis: seja \,x a largura (cada lado perpendicular à parede) e \,y o comprimento (lado oposto à parede). A área e o comprimento da cerca são
xy = 16
e
P = 2x + y,
respectivamente.

Passo 3

Da restrição de área isolamos \,y:
y = \frac{16}{x}.
Substituindo em P obtemos a função de uma variável
P(x) = 2x + \frac{16}{x}.

Passo 4

Para achar o mínimo, derivamos e igualamos a zero:
P'(x) = 2 - \frac{16}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad 2 - \frac{16}{x^2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 8 \quad\Longrightarrow\quad x = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}.
Como P''(x)=\frac{32}{x^3}>0 em x>0, esse ponto é mínimo.

Passo 5

Calculemos y correspondente:
y = \frac{16}{x} = \frac{16}{2\sqrt{2}} = 8\,\frac{1}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}.

Resposta

As dimensões que minimizam o material são \,x = 2\sqrt{2}\text{ m} (largura) \,y = 4\sqrt{2}\text{ m} (comprimento).

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