Um granjeiro deseja construir um galinheiro com formato retangular, usando como um dos lados uma parede de sua casa. Calcule:
Se o granjeiro quisesse construir um galinheiro com área de
, quais as dimensões que utilizariam a menor quantidade de material para a cerca?
Se o granjeiro quisesse construir um galinheiro com área de
Passo 1
O enunciado pede as dimensões de um galinheiro retangular que usa como um dos lados uma parede da casa, de modo que só precisamos cercar três lados. A área deve ser de
. O conteúdo é otimização de função de uma variável usando derivada para encontrar mínimo de perímetro (quantidade de cerca).
Passo 2
Escolhemos variáveis: seja
a largura (cada lado perpendicular à parede) e
o comprimento (lado oposto à parede). A área e o comprimento da cerca são
e
respectivamente.
Passo 3
Da restrição de área isolamos
:
Substituindo em
obtemos a função de uma variável
Passo 4
Para achar o mínimo, derivamos e igualamos a zero:
Como
em
, esse ponto é mínimo.
Passo 5
Calculemos
correspondente:
Resposta
As dimensões que minimizam o material são
(largura)
(comprimento).