Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a fração complexa
.
Informações dadas:
- O numerador é
. - O denominador é
. - O objetivo implícito é escrever o resultado na forma padrão de número complexo
(com e reais).
Passo 2
Ideia prática que usamos (explicação didática): quando temos uma fração com número complexo no denominador, queremos “eliminar” a parte imaginária do denominador para ficar com um denominador real. Para isso usamos o conjugado do denominador.
Definição: o conjugado de um número complexo
é
. Multiplicando
pelo seu conjugado obtemos um número real, porque
Ou seja, o produto é um número real
.
Passo 3
Aplicamos isso ao nosso problema: o conjugado do denominador
é
. Multiplicamos numerador e denominador por esse conjugado (isso não muda o valor da fração, porque multiplicamos por
, isto é, por
):
Agora vamos expandir o numerador passo a passo:
Calculando cada termo:
Lembrando que
, então
. Somando:
Passo 4
Agora o denominador. Usamos a propriedade do produto de conjugados:
(Explicando: fizemos
com
e
.)
Passo 5
Portanto a fração fica
Para escrever na forma padrão
, separamos as partes real e imaginária dividindo cada coeficiente por
:
Passo 6
Verificação rápida (opcional, para ficar mais seguro): multiplicando
por
deve voltar para
. Essa checagem confirma que não cometemos erros algébricos.