Calcule:
\frac{2+i}{5-3 i}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a fração complexa \dfrac{2+i}{5-3i}.
Informações dadas:
  • O numerador é \,2+i\,.
  • O denominador é \,5-3i\,.
  • O objetivo implícito é escrever o resultado na forma padrão de número complexo \,a+bi\, (com a e b reais).

Passo 2

Ideia prática que usamos (explicação didática): quando temos uma fração com número complexo no denominador, queremos “eliminar” a parte imaginária do denominador para ficar com um denominador real. Para isso usamos o conjugado do denominador.
Definição: o conjugado de um número complexo \,a+bi\, é \,a-bi\,. Multiplicando \,a+bi\, pelo seu conjugado obtemos um número real, porque
(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2=a^2-b^2 i^2=a^2-b^2(-1)=a^2+b^2.
Ou seja, o produto é um número real \,a^2+b^2\,.

Passo 3

Aplicamos isso ao nosso problema: o conjugado do denominador \,5-3i\, é \,5+3i. Multiplicamos numerador e denominador por esse conjugado (isso não muda o valor da fração, porque multiplicamos por 1, isto é, por \dfrac{5+3i}{5+3i}):
\frac{2+i}{5-3i}=\frac{(2+i)(5+3i)}{(5-3i)(5+3i)}.
Agora vamos expandir o numerador passo a passo:
(2+i)(5+3i)=2\cdot5 + 2\cdot 3i + i\cdot5 + i\cdot 3i.
Calculando cada termo:
2\cdot5=10,\quad 2\cdot 3i=6i,\quad i\cdot5=5i,\quad i\cdot 3i=3i^2.
Lembrando que i^2=-1, então 3i^2=3(-1)=-3. Somando:
(2+i)(5+3i)=10+6i+5i-3= (10-3)+(6i+5i)=7+11i.

Passo 4

Agora o denominador. Usamos a propriedade do produto de conjugados:
(5-3i)(5+3i)=5^2+(3)^2=25+9=34.
(Explicando: fizemos a^2+b^2 com a=5 e b=3.)

Passo 5

Portanto a fração fica
\frac{2+i}{5-3i}=\frac{7+11i}{34}.
Para escrever na forma padrão \,a+bi\,, separamos as partes real e imaginária dividindo cada coeficiente por 34:
\frac{7+11i}{34}=\frac{7}{34}+\frac{11}{34}\,i.

Passo 6

Verificação rápida (opcional, para ficar mais seguro): multiplicando \left(\dfrac{7}{34}+\dfrac{11}{34}i\right) por (5-3i) deve voltar para 2+i. Essa checagem confirma que não cometemos erros algébricos.

Resposta

\dfrac{7}{34}+\dfrac{11}{34}i

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