Calcule:
\frac{5+i}{i}

Passo 1

O enunciado pede para calcular exatamente a expressão \frac{5+i}{i}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado: o numerador é \;5+i\; e o denominador é \;i\;. Também usaremos a propriedade fundamental de i, que é \;i^2=-1\;. Nada mais foi pedido.

Passo 2

Vamos lembrar um conceito básico e muito útil: o inverso multiplicativo de i, isto é, o número que multiplicado por i 1. Ou seja, queremos saber qual é 1/i. Para encontrar isso, suponha um número z tal que i\cdot z=1. Se escolhermos z=-i, temos:
i\cdot(-i) = -i^2 = -(-1) = 1.
Logo \; \frac{1}{i} = -i. Essa identidade é prática porque transforma uma divisão por i numa multiplicação por -i.

Passo 3

Usando a propriedade acima, vamos reescrever a expressão separando o numerador:
\frac{5+i}{i} = \frac{5}{i} + \frac{i}{i}.
Agora aplicamos \frac{1}{i} = -i em cada termo onde aparece 1/i. Temos \frac{5}{i} = 5\cdot\frac{1}{i} = 5\cdot(-i) = -5i. E \frac{i}{i}=1. Portanto
\frac{5+i}{i} = -5i + 1.

Passo 4

Organizando numa forma usual (parte real + parte imaginária), obtemos
\frac{5+i}{i} = 1 - 5i.

Passo 5

Fazemos uma checagem rápida para ter segurança: multiplicamos o resultado por i e verificamos se voltamos ao numerador 5+i:
i(1-5i) = i - 5i^2 = i - 5(-1) = i + 5 = 5 + i,
o que confirma que o cálculo está correto.

Resposta

1-5i

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