Calcule:
\frac{i}{2+3 i}

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a expressão \dfrac{i}{2+3i}.
Informações dadas: o numerador é \,i (a unidade imaginária) e o denominador é o número complexo \,2+3i.
Objetivo: escrever o resultado na forma padrão de um número complexo, isto é \,a+bi com a e b reais.

Passo 2

Estratégia (explicação didática): quando temos uma fração com um número complexo no denominador, é conveniente “racionalizar” o denominador — isto é, eliminar a parte imaginária do denominador. Para isso multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador.
Definição: o conjugado de \,2+3i é \,2-3i. Multiplicar \,(2+3i)(2-3i) transforma em um número real porque (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2. Também usaremos a identidade \,i^2=-1.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \,2-3i:
\frac{i}{2+3i}=\frac{i(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)}

Passo 4

Calculando o numerador passo a passo:
i(2-3i)=i\cdot2 - i\cdot3i=2i-3i^2.
Usando \,i^2=-1 temos:
2i-3i^2=2i-3(-1)=2i+3.
Portanto o numerador é \,3+2i.

Passo 5

Calculando o denominador passo a passo:
(2+3i)(2-3i)=2^2-(3i)^2=4-9i^2.
Usando \,i^2=-1 temos:
4-9i^2=4-9(-1)=4+9=13.
Portanto o denominador é o real \,13.

Passo 6

Agora juntamos numerador e denominador:
\frac{i}{2+3i}=\frac{3+2i}{13}.
Separando em parte real e imaginária:
\frac{3+2i}{13}=\frac{3}{13}+\frac{2}{13}i.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{13}+\frac{2}{13}i

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