Efetuar:
\left(\frac{1}{2}+i\right)\left(\frac{1}{2}-i\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o produto \left(\frac{1}{2}+i\right)\left(\frac{1}{2}-i\right).
Informações dadas e relevantes:
  • Os números envolvidos são \frac{1}{2}+i e \frac{1}{2}-i.
  • Note que esses dois números são conjugados um do outro (ou seja, têm a mesma parte real \frac{1}{2} e partes imaginárias opostas +i e -i).
  • Lembrete básico: i é a unidade imaginária e satisfaz i^2=-1.

Passo 2

Fórmula útil (e muito prática na prova): se \displaystyle z=a+ib com a,b\in\mathbb{R}, então o produto de z pelo seu conjugado a-ib é
(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2.
Vou mostrar por que isso vale, passo a passo (é só aplicar FOIL e usar i^2=-1):
(a+ib)(a-ib)=a\cdot a + a\cdot(-ib) + ib\cdot a + ib\cdot(-ib).
Agora simplificando cada termo:
= a^2 - iab + iab - i^2 b^2.
Os termos -iab e +iab se cancelam, restando
= a^2 - i^2 b^2.
Como i^2=-1, obtemos
= a^2 - (-1) b^2 = a^2 + b^2.
Interpretação: o produto de um complexo pelo seu conjugado é sempre um número real não negativo, igual à soma dos quadrados das partes real e imaginária.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: aqui a=\frac{1}{2} e b=1 (pois \frac{1}{2}+i = a+ib com b=1). Então
\left(\frac{1}{2}+i\right)\left(\frac{1}{2}-i\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2.
Calculemos as parcelas:
\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4},
1^2=1.
Somando:
\frac{1}{4}+1=\frac{1}{4}+\frac{4}{4}=\frac{5}{4}.

Passo 4

Cheque rápido expandindo diretamente (para ver que dá o mesmo): usar FOIL em números:
\left(\frac{1}{2}+i\right)\left(\frac{1}{2}-i\right)=\frac{1}{4}-\frac{i}{2}+\frac{i}{2}-i^2.
Os termos -\frac{i}{2} e +\frac{i}{2} se anulam, sobrando
\frac{1}{4}-i^2=\frac{1}{4}-(-1)=\frac{1}{4}+1=\frac{5}{4},
mesma resposta — está consistente.

Resposta

\frac{5}{4}

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