Efetuar:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o produto
.
Informações dadas e relevantes:
- Os números envolvidos são
e . - Note que esses dois números são conjugados um do outro (ou seja, têm a mesma parte real
e partes imaginárias opostas e ). - Lembrete básico:
é a unidade imaginária e satisfaz .
Passo 2
Fórmula útil (e muito prática na prova): se
com
, então o produto de
pelo seu conjugado
é
Vou mostrar por que isso vale, passo a passo (é só aplicar FOIL e usar
):
Agora simplificando cada termo:
Os termos
e
se cancelam, restando
Como
, obtemos
Interpretação: o produto de um complexo pelo seu conjugado é sempre um número real não negativo, igual à soma dos quadrados das partes real e imaginária.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso: aqui
e
(pois
com
). Então
Calculemos as parcelas:
Somando:
Passo 4
Cheque rápido expandindo diretamente (para ver que dá o mesmo): usar FOIL em números:
Os termos
e
se anulam, sobrando
mesma resposta — está consistente.