Sendo z_{1}=3+2 i e z_{2}=1+i, obter \frac{z_{1}}{z_{2}}

Passo 1

O enunciado dá dois números complexos e pede o quociente entre eles. As informações fornecidas são:
z_{1}=3+2i
z_{2}=1+i
A pergunta é: obter \dfrac{z_{1}}{z_{2}}.

Passo 2

Ideia que vamos usar (explicação didática): para dividir complexos é conveniente transformar o denominador em um número real. Isso se faz multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Definição: o conjugado de um complexo \,a+bi\,$ é \(\,a-bi. Propriedade útil:
(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2},
que é sempre um número real (pois i^{2}=-1). Então, para \dfrac{z_{1}}{z_{2}} multiplicamos cima e baixo por \overline{z_{2}}.)

Passo 3

Calcular o conjugado de z_{2}. Como z_{2}=1+i, o conjugado é
\overline{z_{2}}=1-i.

Passo 4

Multiplicamos numerador e denominador por \overline{z_{2}}=1-i:
\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{3+2i}{1+i}\cdot\frac{1-i}{1-i}=\frac{(3+2i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}.

Passo 5

Calculamos o numerador usando a propriedade distributiva (FOIL):
(3+2i)(1-i)=3\cdot1+3\cdot(-i)+2i\cdot1+2i\cdot(-i).
Agora simplificamos termo a termo:
=3-3i+2i-2i^{2}.
Lembrando que i^{2}=-1, temos -2i^{2}=-2(-1)=2. Então
3-3i+2i+2=(3+2)+(-3i+2i)=5-i.
Portanto o numerador é 5-i.

Passo 6

Calculamos o denominador usando a identidade do conjugado:
(1+i)(1-i)=1^{2}-i^{2}=1-(-1)=2.
Então o denominador é 2.

Passo 7

Juntando numerador e denominador:
\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{5-i}{2}.
Escrevendo separadamente parte real e imaginária:
\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{5}{2}-\frac{1}{2}i.

Passo 8

(verificação rápida) Multiplicando \dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2}i por 1+i deve retornar 3+2i. Fazendo as contas:
\left(\frac{5}{2}-\frac{1}{2}i\right)(1+i)=\frac{5}{2}+\frac{5}{2}i-\frac{1}{2}i-\frac{1}{2}i^{2}=\frac{5}{2}+2i+\frac{1}{2}=3+2i,
confirmando o resultado.

Resposta

\dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2}i

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