Calcule
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a expressão
.
Informações dadas: o numerador é e o denominador é
.
Objetivo final: escrever o quociente na forma padrão , com
e
números reais.
Informações dadas: o numerador é
Objetivo final: escrever o quociente na forma padrão
Passo 2
Vamos usar a ideia de multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador para eliminar
do denominador.
Definição e razão: o conjugado de é
. Multiplicando uma complexa pelo seu conjugado obtemos um número real porque
. Em forma geral:
Definição e razão: o conjugado de
Passo 3
O conjugado do denominador
é
. Multiplicamos numerador e denominador por esse conjugado:
Passo 4
Calculamos o numerador expandindo com FOIL (cada termo de um com cada termo do outro):
Agora calculamos os produtos:
Como
, temos
. Somando as partes reais e imaginárias:
Passo 5
Calculamos o denominador usando a identidade do conjugado:
Passo 6
Portanto
Separando em parte real e imaginária:
As frações não simplificam mais porque
é primo e não divide
nem
.
Passo 7
Cheque rápido (para ter segurança): multiplico o denominador pelo resultado e verifico se volto ao numerador:
Expandindo:
Dividindo por
dá
, que é exatamente o numerador, então está correto.