Calcule
\frac{4+3 i}{5-2 i};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão \frac{4+3 i}{5-2 i}.
Informações dadas: o numerador é (4+3 i) e o denominador é (5-2 i).
Objetivo final: escrever o quociente na forma padrão a+bi, com a e b números reais.

Passo 2

Vamos usar a ideia de multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador para eliminar i do denominador.
Definição e razão: o conjugado de a+bi é a-bi. Multiplicando uma complexa pelo seu conjugado obtemos um número real porque i^2=-1. Em forma geral:
(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2.

Passo 3

O conjugado do denominador 5-2i é 5+2i. Multiplicamos numerador e denominador por esse conjugado:
\frac{4+3i}{5-2i}=\frac{(4+3i)(5+2i)}{(5-2i)(5+2i)}.

Passo 4

Calculamos o numerador expandindo com FOIL (cada termo de um com cada termo do outro):
(4+3i)(5+2i)=4\cdot5+4\cdot2i+3i\cdot5+3i\cdot2i.
Agora calculamos os produtos:
4\cdot5=20,\quad 4\cdot2i=8i,\quad 3i\cdot5=15i,\quad 3i\cdot2i=6i^2.
Como i^2=-1, temos 6i^2=-6. Somando as partes reais e imaginárias:
20-6+(8+15)i=14+23i.

Passo 5

Calculamos o denominador usando a identidade do conjugado:
(5-2i)(5+2i)=5^2-(2i)^2=25-4i^2=25-4(-1)=25+4=29.

Passo 6

Portanto
\frac{4+3i}{5-2i}=\frac{14+23i}{29}.
Separando em parte real e imaginária:
\frac{14+23i}{29}=\frac{14}{29}+\frac{23}{29}i.
As frações não simplificam mais porque 29 é primo e não divide 14 nem 23.

Passo 7

Cheque rápido (para ter segurança): multiplico o denominador pelo resultado e verifico se volto ao numerador:
(5-2i)\left(\frac{14}{29}+\frac{23}{29}i\right)=\frac{1}{29}(5-2i)(14+23i).
Expandindo:
(5-2i)(14+23i)=70+115i-28i-46i^2=70+87i+46=116+87i.
Dividindo por 29 4+3i, que é exatamente o numerador, então está correto.

Resposta

\frac{14}{29}+\frac{23}{29}i

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