Escreva o número complexo abaixo na forma algébrica.
.
Passo 1
O enunciado pede para escrever o número complexo
na forma algébrica.
Informações dadas: as duas frações complexas acima. A tarefa é simplificar essa expressão e apresentar o resultado no formato , onde
e
são números reais.
Informações dadas: as duas frações complexas acima. A tarefa é simplificar essa expressão e apresentar o resultado no formato
Passo 2
O que é “forma algébrica”? É escrever um número complexo como
onde
é a parte real e
é a parte imaginária. Para somar frações complexas é conveniente eliminar números complexos nos denominadores (ou seja, “racionalizar” o denominador) multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Lembre-se que o conjugado de
é
, e o conjugado de
é
. Também usamos que
e que
Passo 3
Vamos simplificar a primeira fração
. Multiplico numerador e denominador pelo conjugado
:
Calculo numerador e denominador separadamente:
Portanto a primeira fração fica
Passo 4
Agora simplifico a segunda fração
. Multiplico numerador e denominador pelo conjugado
:
Calculo o numerador expandindo passo a passo:
Substituo
:
O denominador já sabemos que é
. Logo
Passo 5
Agora somo as duas frações já simplificadas, somando partes reais e imaginárias separadamente:
parte real: .
parte imaginária: .
Assim a parte real é e a parte imaginária é
.
parte real:
parte imaginária:
Assim a parte real é
Passo 6
Dica rápida para a prova: sempre que aparecer
você pode multiplicar por
para eliminar
do denominador, porque
(número real). Isso evita erros e facilita somar números complexos.