Escreva o número complexo abaixo na forma algébrica.
z=\frac{1}{1-i}+\frac{2+3 i}{1+i}.

Passo 1

O enunciado pede para escrever o número complexo
z=\frac{1}{1-i}+\frac{2+3 i}{1+i}
na forma algébrica.
Informações dadas: as duas frações complexas acima. A tarefa é simplificar essa expressão e apresentar o resultado no formato a+bi, onde a e b são números reais.

Passo 2

O que é “forma algébrica”? É escrever um número complexo como
a+bi,
onde a é a parte real e b é a parte imaginária. Para somar frações complexas é conveniente eliminar números complexos nos denominadores (ou seja, “racionalizar” o denominador) multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Lembre-se que o conjugado de 1+i é 1-i, e o conjugado de 1-i é 1+i. Também usamos que
i^2=-1
e que
(1+i)(1-i)=1-i^2=1-(-1)=2.

Passo 3

Vamos simplificar a primeira fração \dfrac{1}{1-i}. Multiplico numerador e denominador pelo conjugado 1+i:
\frac{1}{1-i}\cdot\frac{1+i}{1+i}=\frac{1(1+i)}{(1-i)(1+i)}.
Calculo numerador e denominador separadamente:
\text{numerador}=1(1+i)=1+i,
\text{denominador}=(1-i)(1+i)=1-i^2=1-(-1)=2.
Portanto a primeira fração fica
\frac{1}{1-i}=\frac{1+i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{i}{2}.

Passo 4

Agora simplifico a segunda fração \dfrac{2+3i}{1+i}. Multiplico numerador e denominador pelo conjugado 1-i:
\frac{2+3i}{1+i}\cdot\frac{1-i}{1-i}=\frac{(2+3i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}.
Calculo o numerador expandindo passo a passo:
(2+3i)(1-i)=2\cdot1+2\cdot(-i)+3i\cdot1+3i\cdot(-i)=2-2i+3i-3i^2.
Substituo i^2=-1:
2-2i+3i-3(-1)=2+ i +3 =5+i.
O denominador já sabemos que é 2. Logo
\frac{2+3i}{1+i}=\frac{5+i}{2}=\frac{5}{2}+\frac{i}{2}.

Passo 5

Agora somo as duas frações já simplificadas, somando partes reais e imaginárias separadamente:
parte real: \dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2}=\dfrac{6}{2}=3.
parte imaginária: \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1.
Assim a parte real é 3 e a parte imaginária é 1.

Passo 6

Dica rápida para a prova: sempre que aparecer \dfrac{\text{algo}}{a+bi} você pode multiplicar por \dfrac{a-bi}{a-bi} para eliminar i do denominador, porque (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2 (número real). Isso evita erros e facilita somar números complexos.

Resposta

3+i

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