Calcule
e
para a função
dada nos itens a seguir:
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
e pede a primeira e a segunda derivadas em relação a
, ou seja,
e
.
Informações úteis extraídas do enunciado:
- Componente
: . - Componente
: . - Componente
: .
O objetivo é derivar componente a componente e aplicar corretamente as regras de diferenciação quando necessário (cadeia, quociente, produto).
Passo 2
Relembrando as regras que vamos usar (com explicação simples e exemplos):
- Derivada componente a componente de uma função vetorial: se
, então
Isto significa derivar cada componente separadamente.
- Regra da cadeia (forma prática): se
, então
Exemplo rápido: se
então
.
- Regra do quociente: se
, então
No entanto, para uma composição útil aqui, vamos usar a identificação
, que é a maneira mais direta de derivar log de uma função.
- Regra do produto (quando aparecer):
.
Vou aplicar essas regras passo a passo às componentes da função vetorial dada.
Passo 3
Derivada da componente
:
.
Usando regra da cadeia com
e
:
Portanto
Derivada da componente
:
.
Regra de potência:
. Assim
Agora derivada da componente
:
com
Vamos seguir por etapas:
- Se
então (cadeia). - Aqui
. Então (derivada do log). - Calcular
:
(Já usei regra da cadeia em
.)
Juntando:
Assim, a primeira derivada vetorial fica
Passo 4
Agora vamos para a segunda derivada. Começando pela componente
:
Temos
. Derivando novamente (cadeia):
Passo 5
Componente
:
. Derivando:
Passo 6
Componente
: aqui é a parte mais trabalhosa. Relembro:
Para
usamos a regra do produto aplicada a
onde
e
.
Produto:
.
- Calcular
. Como com ,
- Calcular
. Usamos a regra do quociente:
Logo, juntando no produto:
Agrupando termos:
Agora substituímos
,
e
explicitamente:
-
. -
. - Calcular
:
Portanto
Substituindo essas expressões em
obtemos
Essa expressão está organizada em dois termos: o primeiro vem de
e o segundo de
. Está correta e é uma forma explícita da segunda derivada da componente
.]
Passo 7
Resumo: juntando todas as componentes segundas derivadas obtidas:
- Componente
: . - Componente
: dada pela expressão do Passo 6. - Componente
: .