Calcule \frac{d f}{d t} e \frac{d^{2} f}{d t^{2}} para a função f dada nos itens a seguir:
f(t)=\sin (8 t) \hat{i}+\cos \left(\ln \left(e^{t^{3}}+t\right)\right) \hat{j}+t^{4} \hat{k}

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
f(t)=\sin(8t)\,\hat{i}+\cos\bigl(\ln\bigl(e^{t^{3}}+t\bigr)\bigr)\,\hat{j}+t^{4}\,\hat{k}
e pede a primeira e a segunda derivadas em relação a t, ou seja, \dfrac{df}{dt} e \dfrac{d^{2}f}{dt^{2}}.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • Componente i: \sin(8t).
  • Componente j: \cos\bigl(\ln\bigl(e^{t^{3}}+t\bigr)\bigr).
  • Componente k: t^{4}.
O objetivo é derivar componente a componente e aplicar corretamente as regras de diferenciação quando necessário (cadeia, quociente, produto).

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (com explicação simples e exemplos):
  • Derivada componente a componente de uma função vetorial: se f(t)=x(t)\,\hat{i}+y(t)\,\hat{j}+z(t)\,\hat{k}, então
\frac{df}{dt}=x'(t)\,\hat{i}+y'(t)\,\hat{j}+z'(t)\,\hat{k}.
Isto significa derivar cada componente separadamente.
  • Regra da cadeia (forma prática): se h(t)=g(u(t)), então
h'(t)=g'(u(t))\cdot u'(t).
Exemplo rápido: se h(t)=\sin(3t) então h'(t)=\cos(3t)\cdot 3.
  • Regra do quociente: se q(t)=\dfrac{a(t)}{b(t)}, então
q'(t)=\frac{a'(t)b(t)-a(t)b'(t)}{b(t)^{2}}.
No entanto, para uma composição útil aqui, vamos usar a identificação \dfrac{d}{dt}\ln v(t)=\dfrac{v'(t)}{v(t)}, que é a maneira mais direta de derivar log de uma função.
  • Regra do produto (quando aparecer): (ab)'=a'b+a b'.
Vou aplicar essas regras passo a passo às componentes da função vetorial dada.

Passo 3

Derivada da componente \hat{i}: x(t)=\sin(8t).
Usando regra da cadeia com g(u)=\sin u e u(t)=8t:
x'(t)=\cos(8t)\cdot \frac{d}{dt}(8t)=\cos(8t)\cdot 8.
Portanto
x'(t)=8\cos(8t).
Derivada da componente \hat{k}: z(t)=t^{4}.
Regra de potência: \dfrac{d}{dt}t^{n}=n t^{n-1}. Assim
z'(t)=4t^{3}.
Agora derivada da componente \hat{j}: y(t)=\cos\bigl(\ln(v(t))\bigr) com
v(t)=e^{t^{3}}+t.
Vamos seguir por etapas:
  1. Se y(t)=\cos(u(t)) então y'(t)=-\sin(u(t))\cdot u'(t) (cadeia).
  2. Aqui u(t)=\ln(v(t)). Então u'(t)=\dfrac{v'(t)}{v(t)} (derivada do log).
  3. Calcular v'(t):
v'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^{t^{3}}+t\bigr)=\frac{d}{dt}e^{t^{3}}+\frac{d}{dt}t = e^{t^{3}}\cdot 3t^{2} + 1.
(Já usei regra da cadeia em \dfrac{d}{dt}e^{t^{3}}=e^{t^{3}}\cdot 3t^{2}.)
Juntando:
y'(t)=-\sin\bigl(\ln(v(t))\bigr)\cdot\frac{v'(t)}{v(t)} = -\sin\bigl(\ln(e^{t^{3}}+t)\bigr)\cdot\frac{3t^{2}e^{t^{3}}+1}{e^{t^{3}}+t}.
Assim, a primeira derivada vetorial fica
\frac{df}{dt}=8\cos(8t)\,\hat{i} -\sin\bigl(\ln(e^{t^{3}}+t)\bigr)\cdot\frac{3t^{2}e^{t^{3}}+1}{e^{t^{3}}+t}\,\hat{j} +4t^{3}\,\hat{k}.

Passo 4

Agora vamos para a segunda derivada. Começando pela componente \hat{i}:
Temos x'(t)=8\cos(8t). Derivando novamente (cadeia):
x''(t)=8\cdot\frac{d}{dt}\cos(8t)=8\cdot\bigl(-\sin(8t)\bigr)\cdot 8 = -64\sin(8t).

Passo 5

Componente \hat{k}: z'(t)=4t^{3}. Derivando:
z''(t)=4\cdot 3 t^{2}=12t^{2}.

Passo 6

Componente \hat{j}: aqui é a parte mais trabalhosa. Relembro:
y'(t)=-\sin\bigl(\ln v(t)\bigr)\cdot\frac{v'(t)}{v(t)},\qquad v(t)=e^{t^{3}}+t,\quad v'(t)=3t^{2}e^{t^{3}}+1.
Para y''(t) usamos a regra do produto aplicada a
y'(t)=A(t)\cdot B(t),
onde A(t)=-\sin(\ln v(t)) e B(t)=\dfrac{v'(t)}{v(t)}.
Produto: (AB)'=A'B+AB'.
  1. Calcular A'(t). Como A(t)=-\sin(u(t)) com u(t)=\ln v(t),
A'(t)=-\cos(u(t))\cdot u'(t) = -\cos(\ln v(t))\cdot\frac{v'(t)}{v(t)}.
  1. Calcular B'(t)=\dfrac{d}{dt}\!\left(\frac{v'}{v}\right). Usamos a regra do quociente:
B'(t)=\frac{v''(t)\,v(t)-v'(t)\,v'(t)}{v(t)^{2}}=\frac{v(t)v''(t)-\bigl(v'(t)\bigr)^{2}}{v(t)^{2}}.
Logo, juntando no produto:
\begin{aligned} y''(t) &= A'(t)B(t)+A(t)B'(t)\\[4pt] &= \Bigl(-\cos(\ln v)\cdot\frac{v'}{v}\Bigr)\cdot\frac{v'}{v} + \Bigl(-\sin(\ln v)\Bigr)\cdot\frac{v v''-(v')^{2}}{v^{2}}. \end{aligned}
Agrupando termos:
y''(t) = -\cos(\ln v)\,\frac{(v')^{2}}{v^{2}} \;-\; \sin(\ln v)\,\frac{v v''-(v')^{2}}{v^{2}}.
Agora substituímos v, v' e v'' explicitamente:
  • v(t)=e^{t^{3}}+t.
  • v'(t)=3t^{2}e^{t^{3}}+1.
  • Calcular v''(t):
v''(t)=\frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}e^{t^{3}}+1\bigr) = \frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}e^{t^{3}}\bigr) = \bigl(6t\bigr)e^{t^{3}} + 3t^{2}\cdot\bigl(3t^{2}e^{t^{3}}\bigr).
Portanto
v''(t)=\bigl(6t+9t^{4}\bigr)e^{t^{3}}.
Substituindo essas expressões em y''(t) obtemos
\begin{aligned} y''(t) &= -\cos\bigl(\ln(e^{t^{3}}+t)\bigr)\cdot\frac{\bigl(3t^{2}e^{t^{3}}+1\bigr)^{2}}{\bigl(e^{t^{3}}+t\bigr)^{2}}\\[4pt] &\quad -\sin\bigl(\ln(e^{t^{3}}+t)\bigr)\cdot\frac{\bigl(e^{t^{3}}+t\bigr)\bigl(6t+9t^{4}\bigr)e^{t^{3}}-\bigl(3t^{2}e^{t^{3}}+1\bigr)^{2}}{\bigl(e^{t^{3}}+t\bigr)^{2}}. \end{aligned}
Essa expressão está organizada em dois termos: o primeiro vem de A'B e o segundo de A B'. Está correta e é uma forma explícita da segunda derivada da componente \hat{j}.]

Passo 7

Resumo: juntando todas as componentes segundas derivadas obtidas:
  • Componente \hat{i}: x''(t)=-64\sin(8t).
  • Componente \hat{j}: y''(t) dada pela expressão do Passo 6.
  • Componente \hat{k}: z''(t)=12t^{2}.

Resposta

\frac{df}{dt}=8\cos(8t)\,\hat{i} -\sin\bigl(\ln(e^{t^{3}}+t)\bigr)\cdot\frac{3t^{2}e^{t^{3}}+1}{e^{t^{3}}+t}\,\hat{j} +4t^{3}\,\hat{k}
\frac{d^{2}f}{dt^{2}}=-64\sin(8t)\,\hat{i} +\Biggl(-\cos\bigl(\ln(e^{t^{3}}+t)\bigr)\cdot\frac{\bigl(3t^{2}e^{t^{3}}+1\bigr)^{2}}{\bigl(e^{t^{3}}+t\bigr)^{2}}
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\; -\sin\bigl(\ln(e^{t^{3}}+t)\bigr)\cdot\frac{\bigl(e^{t^{3}}+t\bigr)\bigl(6t+9t^{4}\bigr)e^{t^{3}}-\bigl(3t^{2}e^{t^{3}}+1\bigr)^{2}}{\bigl(e^{t^{3}}+t\bigr)^{2}}\Biggr)\,\hat{j} +12t^{2}\,\hat{k}

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