Encontre a inclinação da tangente a
em
.
Passo 1
O enunciado pede a inclinação da tangente à curva polar
no ponto onde
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A curva em coordenadas polares é
. - O valor de
onde queremos a inclinação é .
Objetivo claro: calcular a derivadada curva no ponto correspondente a .
Passo 2
Vamos passar da descrição polar para as coordenadas cartesianas, porque a inclinação da tangente é
em coordenadas
. As fórmulas de conversão são:
Aqui
é a função
e
é a variável independente. Essas fórmulas vêm da definição usual de coordenadas polares:
é a projeção de
sobre o eixo
e
a projeção sobre o eixo
.
Passo 3
Para obter a inclinação precisamos das derivadas em relação a
. Aplicando a regra do produto (porque
depende de
e há um
ou
) obtemos:
onde
. Expliquei cada termo: por exemplo em
a derivada de
é
multiplicada por
, e a derivada de
é
multiplicada por
.
Passo 4
A inclinação da tangente em coordenadas cartesianas é
Isto é válido sempre que
. Intuição rápida: tanto
quanto
variam com
; a razão entre as taxas de variação fornece a inclinação da curva no plano
.
Passo 5
Agora usamos especificamente
. Então
. Substituindo nas fórmulas dos passos anteriores:
Portanto a inclinação genérica para a curva
é
Passo 6
Avaliamo-la em
. Usamos
e
. Substituindo:
Assim
A inclinação é negativa, o que significa que a tangente desce quando passada da esquerda para a direita nesse ponto. Respira fundo — chegamos lá!