Encontre a inclinação da tangente a r=\theta em \theta=\pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede a inclinação da tangente à curva polar r=\theta no ponto onde \theta=\pi/2.
Informações dadas:
  • A curva em coordenadas polares é r(\theta)=\theta.
  • O valor de \theta onde queremos a inclinação é \theta_0=\pi/2.
    Objetivo claro: calcular a derivada \dfrac{dy}{dx} da curva no ponto correspondente a \theta=\pi/2.

Passo 2

Vamos passar da descrição polar para as coordenadas cartesianas, porque a inclinação da tangente é \dfrac{dy}{dx} em coordenadas x,y. As fórmulas de conversão são:
x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta.
Aqui r é a função r(\theta) e \theta é a variável independente. Essas fórmulas vêm da definição usual de coordenadas polares: x é a projeção de r sobre o eixo x e y a projeção sobre o eixo y.

Passo 3

Para obter a inclinação precisamos das derivadas em relação a \theta. Aplicando a regra do produto (porque r depende de \theta e há um \cos\theta ou \sin\theta) obtemos:
\frac{dx}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}\big(r\cos\theta\big) = r'(\theta)\cos\theta - r(\theta)\sin\theta,
\frac{dy}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}\big(r\sin\theta\big) = r'(\theta)\sin\theta + r(\theta)\cos\theta,
onde r'(\theta)=\dfrac{dr}{d\theta}. Expliquei cada termo: por exemplo em \frac{d}{d\theta}(r\cos\theta) a derivada de r é r' multiplicada por \cos\theta, e a derivada de \cos\theta é -\sin\theta multiplicada por r.

Passo 4

A inclinação da tangente em coordenadas cartesianas é
\frac{dy}{dx} = \frac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}}.
Isto é válido sempre que \dfrac{dx}{d\theta}\neq 0. Intuição rápida: tanto x quanto y variam com \theta; a razão entre as taxas de variação fornece a inclinação da curva no plano xy.

Passo 5

Agora usamos especificamente r(\theta)=\theta. Então r'(\theta)=1. Substituindo nas fórmulas dos passos anteriores:
\frac{dx}{d\theta} = 1\cdot\cos\theta - \theta\sin\theta = \cos\theta - \theta\sin\theta,
\frac{dy}{d\theta} = 1\cdot\sin\theta + \theta\cos\theta = \sin\theta + \theta\cos\theta.
Portanto a inclinação genérica para a curva r=\theta é
\frac{dy}{dx} = \frac{\sin\theta + \theta\cos\theta}{\cos\theta - \theta\sin\theta}.

Passo 6

Avaliamo-la em \theta=\pi/2. Usamos \sin(\pi/2)=1 e \cos(\pi/2)=0. Substituindo:
\text{numerador} = \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{2}\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 + \frac{\pi}{2}\cdot 0 = 1,
\text{denominador} = \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right) - \frac{\pi}{2}\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 - \frac{\pi}{2}\cdot 1 = -\frac{\pi}{2}.
Assim
\frac{dy}{dx}\Bigg|_{\theta=\pi/2} = \frac{1}{-\tfrac{\pi}{2}} = -\frac{2}{\pi}\approx -0,6366.
A inclinação é negativa, o que significa que a tangente desce quando passada da esquerda para a direita nesse ponto. Respira fundo — chegamos lá!

Resposta

-\dfrac{2}{\pi}

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