Escreva a fórmula para \frac{d y}{d x} em coordenadas polares.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado.
  • Pedem a fórmula para \dfrac{dy}{dx} usando coordenadas polares.
  • Relação entre coordenadas cartesianas (x,y) e polares (r,\theta):
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
  • Vou assumir o caso usual: a curva é dada por r como função de \theta, isto é, r=r(\theta). Portanto \theta será usado como parâmetro.
  • Objetivo: expressar \dfrac{dy}{dx} em termos de r(\theta), \dfrac{dr}{d\theta} e funções trigonométricas de \theta.

Passo 2

Estratégia e regras básicas que vou usar (explicando de leve).
  • Quando uma curva é parametrizada por \theta como x(\theta) e y(\theta), a derivada \dfrac{dy}{dx} pode ser obtida como razão das derivadas em relação ao parâmetro:
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}},
desde que \dfrac{dx}{d\theta}\neq0.
  • Para diferenciar produtos como r(\theta)\cos\theta vou usar a regra do produto: se u(\theta)=a(\theta)b(\theta) então u'(\theta)=a'(\theta)b(\theta)+a(\theta)b'(\theta).
  • Defino uma notação curta: \dfrac{dr}{d\theta} também posso escrever como r'(\theta) quando for conveniente.

Passo 3

Calcular \dfrac{dx}{d\theta} usando x=r\cos\theta e a regra do produto.
  • Aplicando a regra do produto:
\frac{dx}{d\theta}=\frac{d}{d\theta}\big(r(\theta)\cos\theta\big)=\frac{dr}{d\theta}\cos\theta + r(\theta)\cdot\frac{d}{d\theta}(\cos\theta).
  • Como \dfrac{d}{d\theta}(\cos\theta)=-\sin\theta, obtemos:
\frac{dx}{d\theta}=\frac{dr}{d\theta}\cos\theta - r(\theta)\sin\theta.

Passo 4

Calcular \dfrac{dy}{d\theta} usando y=r\sin\theta e a regra do produto.
  • Aplicando a regra do produto:
\frac{dy}{d\theta}=\frac{d}{d\theta}\big(r(\theta)\sin\theta\big)=\frac{dr}{d\theta}\sin\theta + r(\theta)\cdot\frac{d}{d\theta}(\sin\theta).
  • Como \dfrac{d}{d\theta}(\sin\theta)=\cos\theta, obtemos:
\frac{dy}{d\theta}=\frac{dr}{d\theta}\sin\theta + r(\theta)\cos\theta.

Passo 5

Formar \dfrac{dy}{dx} como razão \dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta} e escrever a fórmula final.
  • Substituindo as expressões encontradas:
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dr}{d\theta}\sin\theta + r(\theta)\cos\theta}{\dfrac{dr}{d\theta}\cos\theta - r(\theta)\sin\theta}.
  • Usando a notação r'= \dfrac{dr}{d\theta} pode-se escrever de modo mais compacto:
\frac{dy}{dx}=\frac{r'\sin\theta + r\cos\theta}{r'\cos\theta - r\sin\theta}.

Passo 6

Interpretações e casos especiais — como usar isso na prova (dicas práticas).
  • Se r for constante ( r(\theta)=a), então r'=0 e a fórmula dá
\frac{dy}{dx}=\frac{a\cos\theta}{-a\sin\theta}=-\cot\theta,
que coincide com a derivada da parametrização x=a\cos\theta,\;y=a\sin\theta.
  • Tangente horizontal ocorre quando o numerador é zero (e denominador não nulo): \dfrac{dr}{d\theta}\sin\theta + r\cos\theta=0.
  • Tangente vertical ocorre quando o denominador é zero (e numerador não nulo): \dfrac{dr}{d\theta}\cos\theta - r\sin\theta=0.
  • Se ambos numerador e denominador são zero, é preciso analisar ordens superiores ou reparametrizar (caso de ponto singular).

Passo 7

Um exemplo rápido para fixar (mais um empurrãozinho).
  • Exemplo: para a cardioide r(\theta)=1+\cos\theta, temos r'(\theta)=-\sin\theta. Substituindo na fórmula:
\frac{dy}{dx}=\frac{(-\sin\theta)\sin\theta + (1+\cos\theta)\cos\theta}{(-\sin\theta)\cos\theta - (1+\cos\theta)\sin\theta},
e daí você simplifica algebricamente para obter a inclinação em cada \theta. É só aplicar produto e somar termos — nada de mistério.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dr}{d\theta}\sin\theta + r(\theta)\cos\theta}{\dfrac{dr}{d\theta}\cos\theta - r(\theta)\sin\theta}

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