Escreva a fórmula para
em coordenadas polares.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado.
- Pedem a fórmula para
usando coordenadas polares. - Relação entre coordenadas cartesianas
e polares :
- Vou assumir o caso usual: a curva é dada por
como função de , isto é, . Portanto será usado como parâmetro. - Objetivo: expressar
em termos de , e funções trigonométricas de .
Passo 2
Estratégia e regras básicas que vou usar (explicando de leve).
- Quando uma curva é parametrizada por
como e , a derivada pode ser obtida como razão das derivadas em relação ao parâmetro:
desde que
.
- Para diferenciar produtos como
vou usar a regra do produto: se então . - Defino uma notação curta:
também posso escrever como quando for conveniente.
Passo 3
Calcular
usando
e a regra do produto.
- Aplicando a regra do produto:
- Como
, obtemos:
Passo 4
Calcular
usando
e a regra do produto.
- Aplicando a regra do produto:
- Como
, obtemos:
Passo 5
Formar
como razão
e escrever a fórmula final.
- Substituindo as expressões encontradas:
- Usando a notação
pode-se escrever de modo mais compacto:
Passo 6
Interpretações e casos especiais — como usar isso na prova (dicas práticas).
- Se
for constante ( ), então e a fórmula dá
que coincide com a derivada da parametrização
.
- Tangente horizontal ocorre quando o numerador é zero (e denominador não nulo):
. - Tangente vertical ocorre quando o denominador é zero (e numerador não nulo):
. - Se ambos numerador e denominador são zero, é preciso analisar ordens superiores ou reparametrizar (caso de ponto singular).
Passo 7
Um exemplo rápido para fixar (mais um empurrãozinho).
- Exemplo: para a cardioide
, temos . Substituindo na fórmula:
e daí você simplifica algebricamente para obter a inclinação em cada
. É só aplicar produto e somar termos — nada de mistério.