Calcule \frac{d r}{d \theta} para r=e^{-\theta}.

Passo 1

O enunciado dá a função r(\theta)=e^{-\theta} e pede para calcular \dfrac{dr}{d\theta}.
Informações relevantes: a função é a exponencial de -\theta; nenhuma outra informação adicional é necessária. O objetivo é obter a derivada de r em relação a \theta.

Passo 2

Vamos lembrar uma regra importante (explicada de forma simples): se temos uma função composta h(\theta)=f(g(\theta)), a derivada segue a regra da cadeia:
h'(\theta)=f'(g(\theta))\cdot g'(\theta).
Aqui a ideia é que primeiro derivamos a função externa f avaliando em g(\theta) e depois multiplicamos pela derivada da função interna g. Isso é a essência da regra da cadeia.

Passo 3

Identificar a composição no nosso caso. Podemos escrever
r(\theta)=e^{-\theta}=f(g(\theta)),
onde definimos f(u)=e^{u} e g(\theta)=-\theta. Assim a função externa é f e a interna é g.

Passo 4

Derivadas das partes:
  • Sabemos que a derivada da exponencial é ela mesma, ou seja f'(u)=e^{u}.
  • A derivada de g(\theta)=-\theta em relação a \theta é g'(\theta)=-1.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{dr}{d\theta}=f'(g(\theta))\cdot g'(\theta)=e^{g(\theta)}\cdot(-1).

Passo 5

Substituindo g(\theta)=-\theta na expressão anterior, obtemos
\frac{dr}{d\theta}=-e^{-\theta}.

Resposta

-e^{-\theta}

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