Se uma função é par (ex: cos), o gráfico polar é simétrico a qual eixo?
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado: uma função
é par, ou seja, para todo vale . Exemplo: . - A representação polar que estamos considerando é da forma
. - Pergunta: o gráfico polar de
é simétrico em relação a qual eixo/linha?
Passo 2
Lembrete básico de como passar de coordenadas polares para Cartesianas (isso é essencial para testar simetrias).
- Se um ponto no plano tem coordenadas polares
, as coordenadas Cartesianas são
- Aqui
pode ser positivo ou negativo; usamos essas mesmas fórmulas mesmo quando .
Passo 3
Escrever as coordenadas do ponto gerado por
e por
, usando que
é par.
- Para um ângulo
o ponto da curva é
- Para o ângulo
o ponto correspondente é
- Como
é par, . E , . Então
Passo 4
Interpretação geométrica da relação obtida.
- Comparando
com , vemos que as abscissas são iguais e as ordenadas têm sinais opostos. - Isso significa que o ponto para
é o espelho do ponto para em relação ao eixo (eixo horizontal). Em outras palavras, o conjunto de pontos da curva é simétrico em relação ao eixo polar (também chamado de eixo ).
Passo 5
Breve comentário sobre
negativo (para tirar uma dúvida comum).
- Mesmo se
assumir valores negativos para alguns , as fórmulas continuam válidas e a relação entre e acima permanece. Portanto a simetria em relação ao eixo continua válida em termos do conjunto de pontos no plano.
Passo 6
Um exemplo numérico curtinho para visualizar (só para fixar).
- Tome
. Para temos e o ponto é
- Para
obtemos exatamente a mesma abscissa e a ordenada com sinal trocado, confirmando a reflexão no eixo .
Resposta
O gráfico polar é simétrico em relação ao eixo polar (eixo
, linha
).