Se uma função é par (ex: cos), o gráfico polar é simétrico a qual eixo?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: uma função f é par, ou seja, para todo \theta vale f(-\theta)=f(\theta). Exemplo: f(\theta)=\cos\theta.
  • A representação polar que estamos considerando é da forma r=f(\theta).
  • Pergunta: o gráfico polar de r=f(\theta) é simétrico em relação a qual eixo/linha?

Passo 2

Lembrete básico de como passar de coordenadas polares para Cartesianas (isso é essencial para testar simetrias).
  • Se um ponto no plano tem coordenadas polares (r,\theta), as coordenadas Cartesianas são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
  • Aqui r pode ser positivo ou negativo; usamos essas mesmas fórmulas mesmo quando r<0.

Passo 3

Escrever as coordenadas do ponto gerado por \theta e por -\theta, usando que f é par.
  • Para um ângulo \theta o ponto da curva é
(x(\theta),y(\theta)) = \bigl(f(\theta)\cos\theta,\; f(\theta)\sin\theta\bigr).
  • Para o ângulo -\theta o ponto correspondente é
(x(-\theta),y(-\theta)) = \bigl(f(-\theta)\cos(-\theta),\; f(-\theta)\sin(-\theta)\bigr).
  • Como f é par, f(-\theta)=f(\theta). E \cos(-\theta)=\cos\theta, \sin(-\theta)=-\sin\theta. Então
(x(-\theta),y(-\theta)) = \bigl(f(\theta)\cos\theta,\; -f(\theta)\sin\theta\bigr).

Passo 4

Interpretação geométrica da relação obtida.
  • Comparando (x(\theta),y(\theta)) = \bigl(f(\theta)\cos\theta,\; f(\theta)\sin\theta\bigr) com (x(-\theta),y(-\theta)) = \bigl(f(\theta)\cos\theta,\; -f(\theta)\sin\theta\bigr), vemos que as abscissas são iguais e as ordenadas têm sinais opostos.
  • Isso significa que o ponto para -\theta é o espelho do ponto para \theta em relação ao eixo x (eixo horizontal). Em outras palavras, o conjunto de pontos da curva é simétrico em relação ao eixo polar \theta=0 (também chamado de eixo x).

Passo 5

Breve comentário sobre r negativo (para tirar uma dúvida comum).
  • Mesmo se f(\theta) assumir valores negativos para alguns \theta, as fórmulas x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta continuam válidas e a relação entre (x(\theta),y(\theta)) e (x(-\theta),y(-\theta)) acima permanece. Portanto a simetria em relação ao eixo \theta=0 continua válida em termos do conjunto de pontos no plano.

Passo 6

Um exemplo numérico curtinho para visualizar (só para fixar).
  • Tome f(\theta)=\cos\theta. Para \theta=\tfrac{\pi}{6} temos r=\cos\!\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e o ponto é
\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\tfrac{\pi}{6},\;\tfrac{\sqrt{3}}{2}\sin\tfrac{\pi}{6}\bigr).
  • Para -\tfrac{\pi}{6} obtemos exatamente a mesma abscissa e a ordenada com sinal trocado, confirmando a reflexão no eixo x.

Resposta

O gráfico polar é simétrico em relação ao eixo polar (eixo x, linha \theta=0).

Exercícios relacionados