Calcule \frac{d \vec{F}}{d t} e \frac{d^{2} \vec{F}}{d t^{2}} ; em seguida calcule a reta tangente ao gráfico das funções dadas, no ponto ( t_{0}, \vec{F}\left(t_{0}\right) )
c) \vec{F}(t)=\operatorname{sen} 5 t \vec{i}+\cos 4 t \vec{j}-e^{-2 t} \vec{k}, \quad t_{0}=\pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  1. Calcular \dfrac{d\vec{F}}{dt}.
  2. Calcular \dfrac{d^{2}\vec{F}}{dt^{2}}.
  3. Calcular a reta tangente ao gráfico da função vetorial \vec{F} no ponto \bigl(t_{0},\vec{F}(t_{0})\bigr).
Informações fornecidas:
\vec{F}(t)=\operatorname{sen}5t\,\vec{i}+\cos4t\,\vec{j}-e^{-2t}\,\vec{k}, \qquad t_{0}=\frac{\pi}{2}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados passo a passo):
  • A derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja, se \vec{F}(t)=F_{x}(t)\,\vec{i}+F_{y}(t)\,\vec{j}+F_{z}(t)\,\vec{k},então \frac{d\vec{F}}{dt}=F_{x}'(t)\,\vec{i}+F_{y}'(t)\,\vec{j}+F_{z}'(t)\,\vec{k}.Isso é só aplicar derivada em cada componente separadamente.
  • Regras de derivação que vamos aplicar: \frac{d}{dt}\bigl(\sin(at)\bigr)=a\cos(at), \qquad \frac{d}{dt}\bigl(\cos(at)\bigr)=-a\sin(at),onde a é uma constante; e \frac{d}{dt}\bigl(e^{bt}\bigr)=b\,e^{bt},onde b é constante. Aqui cada símbolo significa: t é a variável, a,b constantes multiplicativas dentro do argumento/expoente.
  • Para exponenciais com sinal negativo no expoente, por exemplo e^{-2t}, use b=-2 na fórmula acima.
Exemplo rápido de treino: \dfrac{d}{dt}\sin(3t)=3\cos(3t). Tranquilo, né? Agora aplicamos essas regras nas componentes.

Passo 3

Calcular \dfrac{d\vec{F}}{dt} componente a componente:
Componente x: F_{x}(t)=\sin5t. Aplicando \dfrac{d}{dt}\sin(5t)=5\cos(5t), obtemos F_{x}'(t)=5\cos5t.
Componente y: F_{y}(t)=\cos4t. Aplicando \dfrac{d}{dt}\cos(4t)=-4\sin(4t), obtemos F_{y}'(t)=-4\sin4t.
Componente z: F_{z}(t)=-e^{-2t}. Primeiro observe que \dfrac{d}{dt}e^{-2t}=-2e^{-2t}. Então
\frac{d}{dt}\bigl(-e^{-2t}\bigr) = -\bigl(-2e^{-2t}\bigr)=2e^{-2t}.
Portanto, juntando:
\frac{d\vec{F}}{dt}=5\cos5t\,\vec{i}-4\sin4t\,\vec{j}+2e^{-2t}\,\vec{k}.

Passo 4

Calcular \dfrac{d^{2}\vec{F}}{dt^{2}} derivando novamente cada componente de \dfrac{d\vec{F}}{dt}:
Componente x: 5\cos5t. Derivando, use \dfrac{d}{dt}\cos(5t)=-5\sin(5t). Então
\frac{d}{dt}\bigl(5\cos5t\bigr)=5\cdot(-5\sin5t)=-25\sin5t.
Componente y: -4\sin4t. Derivando, use \dfrac{d}{dt}\sin(4t)=4\cos(4t). Então
\frac{d}{dt}\bigl(-4\sin4t\bigr)=-4\cdot(4\cos4t)=-16\cos4t.
Componente z: 2e^{-2t}. Derivando, use \dfrac{d}{dt}e^{-2t}=-2e^{-2t}. Então
\frac{d}{dt}\bigl(2e^{-2t}\bigr)=2\cdot(-2e^{-2t})=-4e^{-2t}.
Portanto
\frac{d^{2}\vec{F}}{dt^{2}}=-25\sin5t\,\vec{i}-16\cos4t\,\vec{j}-4e^{-2t}\,\vec{k}.

Passo 5

Avaliar \vec{F}(t_{0}), \dfrac{d\vec{F}}{dt}\Big|_{t=t_{0}} e \dfrac{d^{2}\vec{F}}{dt^{2}}\Big|_{t=t_{0}} em t_{0}=\dfrac{\pi}{2}.
Calcule valores trigonométricos:
  • 5t_{0}=5\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{5\pi}{2}=2\pi+\dfrac{\pi}{2}. Como o seno tem período 2\pi,
    \sin\bigl(\tfrac{5\pi}{2}\bigr)=\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.
    E \cos\bigl(\tfrac{5\pi}{2}\bigr)=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.
  • 4t_{0}=4\cdot\dfrac{\pi}{2}=2\pi. Então \sin(2\pi)=0 e \cos(2\pi)=1.
  • Para exponenciais, e^{-2t_{0}}=e^{-2\cdot(\pi/2)}=e^{-\pi}.
Agora calcule cada vetor:
\vec{F}\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sin\!\left(\frac{5\pi}{2}\right)\vec{i}+\cos\!\left(2\pi\right)\vec{j}-e^{-\pi}\vec{k} =1\cdot\vec{i}+1\cdot\vec{j}-e^{-\pi}\vec{k}.
\frac{d\vec{F}}{dt}\Bigg|_{t=\frac{\pi}{2}}=5\cos\!\left(\frac{5\pi}{2}\right)\vec{i}-4\sin\!\left(2\pi\right)\vec{j}+2e^{-\pi}\vec{k} =5\cdot 0\,\vec{i}-4\cdot 0\,\vec{j}+2e^{-\pi}\vec{k}=2e^{-\pi}\vec{k}.
\frac{d^{2}\vec{F}}{dt^{2}}\Bigg|_{t=\frac{\pi}{2}}=-25\sin\!\left(\frac{5\pi}{2}\right)\vec{i}-16\cos\!\left(2\pi\right)\vec{j}-4e^{-\pi}\vec{k} =-25\vec{i}-16\vec{j}-4e^{-\pi}\vec{k}.
Observação útil: \vec{F}'(t_{0}) tem apenas componente na direção \vec{k}, logo a reta tangente será paralela ao eixo z passando por (x,y,z)=(1,1,-e^{-\pi}).

Passo 6

Equação da reta tangente. A fórmula padrão da reta tangente ao gráfico da curva vetorial em t_{0} é, usando um parâmetro s para a reta,
\vec{r}(s)=\vec{F}(t_{0})+\vec{F}'(t_{0})\,(s-t_{0}).
Substituindo os resultados de cima ( \vec{F}(t_{0})=\vec{i}+\vec{j}-e^{-\pi}\vec{k} e \vec{F}'(t_{0})=2e^{-\pi}\vec{k}) obtemos
\vec{r}(s)=\vec{i}+\vec{j}-e^{-\pi}\vec{k}+2e^{-\pi}\vec{k}\,(s-\tfrac{\pi}{2}).
Podemos escrever em forma paramétrica por componentes (para s real):
x(s)=1,\qquad y(s)=1,\qquad z(s)=-e^{-\pi}+2e^{-\pi}\bigl(s-\tfrac{\pi}{2}\bigr).
Isso é a reta tangente pedida; note que x e y são constantes, ou seja, reta vertical no espaço passando por (1,1,-e^{-\pi}).

Resposta

\frac{d\vec{F}}{dt}=5\cos5t\,\vec{i}-4\sin4t\,\vec{j}+2e^{-2t}\,\vec{k}
\frac{d^{2}\vec{F}}{dt^{2}}=-25\sin5t\,\vec{i}-16\cos4t\,\vec{j}-4e^{-2t}\,\vec{k}
\vec{r}(s)=\vec{i}+\vec{j}-e^{-\pi}\vec{k}+2e^{-\pi}\vec{k}\,\bigl(s-\tfrac{\pi}{2}\bigr)

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