Calcule \frac{d \vec{F}}{d t} e \frac{d^{2} \vec{F}}{d t^{2}} ; em seguida calcule a reta tangente ao gráfico das funções dadas, no ponto ( t_{0}, \vec{F}\left(t_{0}\right) )
c) \vec{F}(t)=\operatorname{sen} 5 t \vec{i}+\cos 4 t \vec{j}-e^{-2 t} \vec{k}, \quad t_{0}=\pi / 2.
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
Calcular \dfrac{d\vec{F}}{dt}.
Calcular \dfrac{d^{2}\vec{F}}{dt^{2}}.
Calcular a reta tangente ao gráfico da função vetorial \vec{F} no ponto \bigl(t_{0},\vec{F}(t_{0})\bigr).
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicados passo a passo):
A derivada de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja, se\vec{F}(t)=F_{x}(t)\,\vec{i}+F_{y}(t)\,\vec{j}+F_{z}(t)\,\vec{k},então\frac{d\vec{F}}{dt}=F_{x}'(t)\,\vec{i}+F_{y}'(t)\,\vec{j}+F_{z}'(t)\,\vec{k}.Isso é só aplicar derivada em cada componente separadamente.
Regras de derivação que vamos aplicar:\frac{d}{dt}\bigl(\sin(at)\bigr)=a\cos(at), \qquad \frac{d}{dt}\bigl(\cos(at)\bigr)=-a\sin(at),onde a é uma constante; e\frac{d}{dt}\bigl(e^{bt}\bigr)=b\,e^{bt},onde b é constante. Aqui cada símbolo significa: t é a variável, a,b constantes multiplicativas dentro do argumento/expoente.
Para exponenciais com sinal negativo no expoente, por exemplo e^{-2t}, use b=-2 na fórmula acima.
Exemplo rápido de treino: \dfrac{d}{dt}\sin(3t)=3\cos(3t). Tranquilo, né? Agora aplicamos essas regras nas componentes.
Passo 3
Calcular \dfrac{d\vec{F}}{dt} componente a componente:
Avaliar \vec{F}(t_{0}), \dfrac{d\vec{F}}{dt}\Big|_{t=t_{0}} e \dfrac{d^{2}\vec{F}}{dt^{2}}\Big|_{t=t_{0}} em t_{0}=\dfrac{\pi}{2}.
Calcule valores trigonométricos:
5t_{0}=5\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{5\pi}{2}=2\pi+\dfrac{\pi}{2}. Como o seno tem período 2\pi, \sin\bigl(\tfrac{5\pi}{2}\bigr)=\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.
E \cos\bigl(\tfrac{5\pi}{2}\bigr)=\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.
4t_{0}=4\cdot\dfrac{\pi}{2}=2\pi. Então \sin(2\pi)=0 e \cos(2\pi)=1.
Para exponenciais, e^{-2t_{0}}=e^{-2\cdot(\pi/2)}=e^{-\pi}.
Observação útil: \vec{F}'(t_{0}) tem apenas componente na direção \vec{k}, logo a reta tangente será paralela ao eixo z passando por (x,y,z)=(1,1,-e^{-\pi}).
Passo 6
Equação da reta tangente. A fórmula padrão da reta tangente ao gráfico da curva vetorial em t_{0} é, usando um parâmetro s para a reta,