Sejam
, sent, 2) e
. Calcule:
a)
,
b)
,
c)
,
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá duas funções-vetor dependentes de
. Ele pede quatro operações entre elas. As informações fornecidas são:
-
. Aqui peguei o segundo componente como a partir do texto que diz “sent” (interpretei como "sen "). -
.
As perguntas são:
a) Calcular(produto escalar).
b) Calcular(multiplicação de um escalar pela vetor).
c) Calcular(subtração e multiplicação escalar).
d) Calcular(produto vetorial em ).
Passo 2
Produto escalar — definição e como aplicar:
- Definição: para dois vetores em
, . - Interpretação: multiplicamos componente a componente e somamos. Cada
e é a componente -ésima dos vetores.
Agora aplicamos à nossa entrada:e . Então
Faço a soma e, se quiser, agrupo fatores semelhantes:
Observação didática: podemos ver
como fator comum em dois termos; às vezes isso facilita manipulações posteriores.
Passo 3
Multiplicação de um vetor por um escalar — definição e aplicação:
- Definição: para escalar
e vetor , tem-se . - Aqui
e o vetor é . Aplicando a definição:
Escrevendo de forma mais limpa:
Dica prática para prova: sempre multiplique componente a componente, lembrando que
age como um número normal.
Passo 4
Subtração e multiplicação por escalar composta — procedimento:
- Primeiro calculamos
usando a regra do passo anterior com :
- Agora subtraímos componente a componente
:
Explicando: cada componente do resultado é a diferença entre a componente correspondente de
e de
.
Passo 5
Produto vetorial (cross product) — definição, fórmula e aplicação:
- Definição: para
e em ,
- Intuição rápida: envolve determinantes de matrizes 2×2 formadas por pares de componentes.
Aplicando come , calculamos componente a componente:
Componente 1 (i):
Componente 2 (j):
Componente 3 (k):
Portanto
Passo 6
Verificação rápida (sanidade):
- Dimensões: todos os resultados têm forma correta (escalar no a), vetores em
nos b, c e d. - Especializações simples: por exemplo em
, -
, ; - o produto escalar em
dá , e nossa fórmula dá — consistente.
Isso ajuda a confiar nos cálculos.
-