Sejam \vec{F}(\mathrm{t})=\left(\mathrm{t}\right., sent, 2) e \vec{G}(\mathrm{t})=\left(3, t, t^{2}\right). Calcule:
a) \vec{F}(t) \bullet \vec{G}(t),
b) e^{-t} \vec{F}(t),
c) \vec{F}(t)-2 \vec{G}(t),
d) \vec{F}(t) \wedge \vec{G}(t)

Passo 1

O enunciado dá duas funções-vetor dependentes de t. Ele pede quatro operações entre elas. As informações fornecidas são:
  • \vec{F}(t)=\bigl(t,\;\operatorname{sen} t,\;2\bigr). Aqui peguei o segundo componente como \operatorname{sen} t a partir do texto que diz “sent” (interpretei como "sen t").
  • \vec{G}(t)=\bigl(3,\;t,\;t^{2}\bigr).
    As perguntas são:
    a) Calcular \vec{F}(t)\bullet \vec{G}(t) (produto escalar).
    b) Calcular e^{-t}\,\vec{F}(t) (multiplicação de um escalar pela vetor).
    c) Calcular \vec{F}(t)-2\vec{G}(t) (subtração e multiplicação escalar).
    d) Calcular \vec{F}(t)\wedge\vec{G}(t) (produto vetorial em \mathbb{R}^{3}).

Passo 2

Produto escalar — definição e como aplicar:
  • Definição: para dois vetores em \mathbb{R}^{3}, \bigl(a_{1},a_{2},a_{3}\bigr)\bullet\bigl(b_{1},b_{2},b_{3}\bigr)=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}.
  • Interpretação: multiplicamos componente a componente e somamos. Cada a_i e b_i é a componente i-ésima dos vetores.
    Agora aplicamos à nossa entrada: \vec{F}(t)=\bigl(t,\;\operatorname{sen} t,\;2\bigr) e \vec{G}(t)=\bigl(3,\;t,\;t^{2}\bigr). Então
\vec{F}(t)\bullet\vec{G}(t)=t\cdot 3+(\operatorname{sen} t)\cdot t+2\cdot t^{2}.
Faço a soma e, se quiser, agrupo fatores semelhantes:
\vec{F}(t)\bullet\vec{G}(t)=3t+t\operatorname{sen} t+2t^{2}.
Observação didática: podemos ver t como fator comum em dois termos; às vezes isso facilita manipulações posteriores.

Passo 3

Multiplicação de um vetor por um escalar — definição e aplicação:
  • Definição: para escalar \lambda e vetor \bigl(v_{1},v_{2},v_{3}\bigr), tem-se \lambda\bigl(v_{1},v_{2},v_{3}\bigr)=\bigl(\lambda v_{1},\lambda v_{2},\lambda v_{3}\bigr).
  • Aqui \lambda=e^{-t} e o vetor é \vec{F}(t)=\bigl(t,\;\operatorname{sen} t,\;2\bigr). Aplicando a definição:
e^{-t}\vec{F}(t)=\bigl(e^{-t}\cdot t,\;e^{-t}\cdot\operatorname{sen} t,\;e^{-t}\cdot 2\bigr).
Escrevendo de forma mais limpa:
e^{-t}\vec{F}(t)=\bigl(t e^{-t},\;\,e^{-t}\operatorname{sen} t,\;\,2e^{-t}\bigr).
Dica prática para prova: sempre multiplique componente a componente, lembrando que e^{-t} age como um número normal.

Passo 4

Subtração e multiplicação por escalar composta — procedimento:
  • Primeiro calculamos 2\vec{G}(t) usando a regra do passo anterior com \lambda=2:
2\vec{G}(t)=2\bigl(3,\;t,\;t^{2}\bigr)=\bigl(6,\;2t,\;2t^{2}\bigr).
  • Agora subtraímos componente a componente \vec{F}(t)-2\vec{G}(t):
\vec{F}(t)-2\vec{G}(t)=\bigl(t-6,\;\operatorname{sen} t-2t,\;2-2t^{2}\bigr).
Explicando: cada componente do resultado é a diferença entre a componente correspondente de \vec{F} e de 2\vec{G}.

Passo 5

Produto vetorial (cross product) — definição, fórmula e aplicação:
  • Definição: para \vec{A}=(A_{1},A_{2},A_{3}) e \vec{B}=(B_{1},B_{2},B_{3}) em \mathbb{R}^{3},
\vec{A}\times\vec{B}=\bigl(A_{2}B_{3}-A_{3}B_{2},\;A_{3}B_{1}-A_{1}B_{3},\;A_{1}B_{2}-A_{2}B_{1}\bigr).
  • Intuição rápida: envolve determinantes de matrizes 2×2 formadas por pares de componentes.
    Aplicando com \vec{F}(t)=\bigl(t,\;\operatorname{sen} t,\;2\bigr) e \vec{G}(t)=\bigl(3,\;t,\;t^{2}\bigr), calculamos componente a componente:
Componente 1 (i):
F_{2}G_{3}-F_{3}G_{2}=(\operatorname{sen} t)\cdot t^{2}-2\cdot t = t^{2}\operatorname{sen} t-2t.
Componente 2 (j):
F_{3}G_{1}-F_{1}G_{3}=2\cdot 3 - t\cdot t^{2} = 6 - t^{3}.
Componente 3 (k):
F_{1}G_{2}-F_{2}G_{1}=t\cdot t - (\operatorname{sen} t)\cdot 3 = t^{2}-3\operatorname{sen} t.
Portanto
\vec{F}(t)\times\vec{G}(t)=\bigl(t^{2}\operatorname{sen} t-2t,\;6-t^{3},\;t^{2}-3\operatorname{sen} t\bigr).

Passo 6

Verificação rápida (sanidade):
  • Dimensões: todos os resultados têm forma correta (escalar no a), vetores em \mathbb{R}^{3} nos b, c e d.
  • Especializações simples: por exemplo em t=0,
    • \vec{F}(0)=(0,0,2), \vec{G}(0)=(3,0,0);
    • o produto escalar em t=0 0, e nossa fórmula 3t+t\operatorname{sen} t+2t^{2} 0 — consistente.
      Isso ajuda a confiar nos cálculos.

Resposta

\vec{F}(t)\bullet\vec{G}(t)=3t+t\operatorname{sen} t+2t^{2}\n
e^{-t}\vec{F}(t)=\bigl(t e^{-t},\;e^{-t}\operatorname{sen} t,\;2e^{-t}\bigr)\n
\vec{F}(t)-2\vec{G}(t)=\bigl(t-6,\;\operatorname{sen} t-2t,\;2-2t^{2}\bigr)\n
\vec{F}(t)\wedge\vec{G}(t)=\bigl(t^{2}\operatorname{sen} t-2t,\;6-t^{3},\;t^{2}-3\operatorname{sen} t\bigr)

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