Calcule \frac{d \vec{F}}{d t} e \frac{d^{2} \vec{F}}{d t^{2}}; em seguida calcule a reta tangente ao gráfico das funções dadas, no ponto ( t_{0}, \vec{F}\left(t_{0}\right) )
\vec{F}(t)=\operatorname{sen} 5 t \vec{i}+\cos 4 t \vec{j}-e^{-2 t} \vec{k}, \quad t_{0}=\pi / 2.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: 1) calcular \dfrac{d\vec{F}}{dt} e \dfrac{d^{2}\vec{F}}{dt^{2}} para a função vetorial dada; 2) determinar a reta tangente ao gráfico da curva paramétrica no ponto \bigl(t_{0},\vec{F}(t_{0})\bigr) com t_{0}=\pi/2.
As informações fornecidas são:
\vec{F}(t)=\operatorname{sen}5t\,\vec{i}+\cos4t\,\vec{j}-e^{-2t}\,\vec{k}, \qquad t_{0}=\pi/2.

Passo 2

Regra básica que vamos usar (explanação): para uma função vetorial
\vec{F}(t)=f_1(t)\,\vec{i}+f_2(t)\,\vec{j}+f_3(t)\,\vec{k},
a derivada é feita componente a componente:
\frac{d\vec{F}}{dt}=f_1'(t)\,\vec{i}+f_2'(t)\,\vec{j}+f_3'(t)\,\vec{k}.
Também usaremos derivadas elementares (cadeia simples):
  • \dfrac{d}{dt}\sin(at)=a\cos(at). Aqui a é constante.
  • \dfrac{d}{dt}\cos(at)=-a\sin(at).
  • \dfrac{d}{dt}e^{bt}=b e^{bt}.
    Exemplo rápido para fixar: se g(t)=\sin(3t) então g'(t)=3\cos(3t).

Passo 3

Aplicando a regra componente a componente ao vetor dado, calculemos a primeira derivada:
Primeira componente: f_1(t)=\sin(5t) então
f_1'(t)=5\cos(5t).
Segunda componente: f_2(t)=\cos(4t) então
f_2'(t)=-4\sin(4t).
Terceira componente: f_3(t)=-e^{-2t}. Como \dfrac{d}{dt}e^{-2t}=-2e^{-2t}, obtemos
f_3'(t)=-(-2e^{-2t})=2e^{-2t}.
Portanto
\frac{d\vec{F}}{dt}=5\cos(5t)\,\vec{i}-4\sin(4t)\,\vec{j}+2e^{-2t}\,\vec{k}.

Passo 4

Agora a segunda derivada: derivamos novamente cada componente da \dfrac{d\vec{F}}{dt}.
Derivada da primeira componente 5\cos(5t):
\frac{d}{dt}\bigl(5\cos(5t)\bigr)=5\cdot(-5)\sin(5t)=-25\sin(5t).
Derivada da segunda componente -4\sin(4t):
\frac{d}{dt}\bigl(-4\sin(4t)\bigr)=-4\cdot4\cos(4t)=-16\cos(4t).
Derivada da terceira componente 2e^{-2t}:
\frac{d}{dt}\bigl(2e^{-2t}\bigr)=2\cdot(-2)e^{-2t}=-4e^{-2t}.
Portanto
\frac{d^{2}\vec{F}}{dt^{2}}=-25\sin(5t)\,\vec{i}-16\cos(4t)\,\vec{j}-4e^{-2t}\,\vec{k}.

Passo 5

Precisamos da reta tangente no ponto correspondente a t_{0}=\pi/2. Primeiro calculemos \vec{F}(t_{0}). Avaliando cada componente em t=\pi/2:
\sin\bigl(5\cdot\pi/2\bigr)=\sin\bigl(2\pi+\pi/2\bigr)=\sin(\pi/2)=1,
\cos\bigl(4\cdot\pi/2\bigr)=\cos(2\pi)=1,
e^{-2t_{0}}=e^{-2\cdot(\pi/2)}=e^{-\pi}.
Assim
\vec{F}\bigl(\pi/2\bigr)=1\cdot\vec{i}+1\cdot\vec{j}-e^{-\pi}\vec{k}=\vec{i}+\vec{j}-e^{-\pi}\vec{k}.

Passo 6

Avaliemos \dfrac{d\vec{F}}{dt} em t_{0}=\pi/2. Usamos a expressão já obtida:
\frac{d\vec{F}}{dt}=5\cos(5t)\,\vec{i}-4\sin(4t)\,\vec{j}+2e^{-2t}\,\vec{k}.
Em t=\pi/2:
\cos\bigl(5\cdot\pi/2\bigr)=\cos\bigl(2\pi+\pi/2\bigr)=\cos(\pi/2)=0,
\sin\bigl(4\cdot\pi/2\bigr)=\sin(2\pi)=0,
2e^{-2t_{0}}=2e^{-\pi}.
Logo
\frac{d\vec{F}}{dt}\Big|_{t=\pi/2}=0\cdot\vec{i}+0\cdot\vec{j}+2e^{-\pi}\vec{k}=2e^{-\pi}\vec{k}.

Passo 7

Avaliemos \dfrac{d^{2}\vec{F}}{dt^{2}} em t_{0}=\pi/2 usando a expressão do Passo 4:
\frac{d^{2}\vec{F}}{dt^{2}}=-25\sin(5t)\,\vec{i}-16\cos(4t)\,\vec{j}-4e^{-2t}\,\vec{k}.
Em t=\pi/2:
\sin\bigl(5\cdot\pi/2\bigr)=1,\qquad \cos\bigl(4\cdot\pi/2\bigr)=1,\qquad e^{-2t_{0}}=e^{-\pi}.
Portanto
\frac{d^{2}\vec{F}}{dt^{2}}\Big|_{t=\pi/2}=-25\vec{i}-16\vec{j}-4e^{-\pi}\vec{k}.

Passo 8

Construção da reta tangente (explicação e forma): a reta tangente à curva paramétrica \vec{F}(t) no ponto t_{0} pode ser escrita como
\vec{r}(t)=\vec{F}(t_{0})+(t-t_{0})\,\vec{F}'(t_{0}).
Usando os valores do Passo 5 e Passo 6:
\vec{r}(t)=\bigl(\vec{i}+\vec{j}-e^{-\pi}\vec{k}\bigr)+(t-\pi/2)\bigl(2e^{-\pi}\vec{k}\bigr).
Podemos escrever componente a componente se preferir, mas a forma vetorial acima já é a reta tangente pedida.

Resposta

\displaystyle \frac{d\vec{F}}{dt}=5\cos(5t)\,\vec{i}-4\sin(4t)\,\vec{j}+2e^{-2t}\,\vec{k}.
\displaystyle \frac{d^{2}\vec{F}}{dt^{2}}=-25\sin(5t)\,\vec{i}-16\cos(4t)\,\vec{j}-4e^{-2t}\,\vec{k}.
Reta tangente em t_{0}=\pi/2: \displaystyle \vec{r}(t)=\vec{i}+\vec{j}-e^{-\pi}\vec{k}+(t-\pi/2)\,2e^{-\pi}\vec{k}.

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