Esboce o traço da curva
determinada pela função vetorial
, sendo:
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
e pede que eu esboce o traço da curva
determinada por essa parametrização.
Informações fornecidas e perguntas claramente identificadas:
Informações fornecidas e perguntas claramente identificadas:
- A parametrização em coordenadas cartesianas é
para . - Preciso determinar a forma geométrica do traço (ou seja: que curva é essa, onde está localizada, como desenhá‑la e qual a orientação quando
cresce).
Não há outras informações no enunciado nem figuras adicionais.
Passo 2
Escrever as componentes e eliminar o parâmetro para ver a superfície onde a curva vive. As componentes são
Agora somo os quadrados de
e
:
Usando a identidade trigonométrica
obtemos a equação em forma fechada
Esta é a equação de um cilindro circular de raio
cujo eixo é o eixo
.
Passo 3
Interpretação geométrica do resultado do passo anterior:
- A curva está contida no cilindro
ou seja, em todo ponto da curva a projeção no plano
é um ponto a distância
da origem do plano
. Portanto, a curva é uma linha que percorre circularmente o círculo de raio
no plano
enquanto se desloca ao longo do eixo
.
- Quando uma curva faz um círculo no plano perpendicular a um eixo enquanto avança ao longo desse eixo de forma contínua, isso é exatamente uma hélice circular. Logo
é uma hélice circular de raio ao redor do eixo .
Passo 4
Determinar a periodicidade angular e o avanço ao longo do eixo
por volta (o “passo” ou pitch da hélice).
- As funções
e têm período . Assim, a projeção no plano completa uma volta quando aumenta de para . - Como
, o incremento em numa volta completa é
Portanto, a hélice dá uma volta completa enquanto avança
unidades ao longo do eixo
. Esse valor
é o pitch (distância axial por volta).
Passo 5
Calcular pontos notáveis da curva para ter referências no esboço. Uso os valores
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Esses pontos mostram uma volta completa: em
começa em cima (
), em
está no lado
, em
está embaixo (
), em
no lado
, e em
volta ao topo com
mas com
aumentada em
.
Passo 6
Verificar a orientação (sentido) e a velocidade da parametrização para saber como ligar os pontos no esboço.
- Derivada da curva:
- Norma da velocidade (módulo de
):
Logo a velocidade é constante e igual a
. Isso significa que a curva é percorrida com rapidez uniforme.
- Orientação: como
tem componente positiva em (igual a ), aumenta com . Pelo conjunto dos pontos notáveis vimos a sequência quando cresce:
ou seja, a curva gira no plano
percorrendo os pontos acima nessa ordem enquanto avança para
.
Passo 7
Instruções práticas e dicas para esboçar à mão (passo a passo para desenhar no papel):
- Desenhe o eixo
horizontal (para a direita) e desenhe um eixo vertical para e um eixo perpendicular no plano (para ) de forma a representar o espaço 3D com perspectiva simples. - Desenhe um cilindro de eixo
(apenas os contornos das “circunferências” em alguns valores de ) de raio para servir de guia: por exemplo corte o eixo em e em cada corte desenhe a circunferência de raio no plano . - Marque os pontos calculados no Passo 5 sobre essas circunferências:
, , etc. - Una os pontos por uma linha suave em espiral que mantém raio
em relação ao eixo e que avança para a direita (aumentando ) conforme a ordem dos pontos. Isso desenha a hélice. - Indique com uma seta o sentido de crescimento de
(seta para a direita e para frente na espiral). - Ao anotar características no desenho, escreva: raio
, pitch por volta , ponto inicial em é .
Passo 8
Resumo das propriedades essenciais para o esboço (úteis na prova para justificar o desenho):
- A curva
é a hélice circular dada por
- Fica sobre o cilindro
. - Raio da hélice:
. - Avanço axial por volta (pitch):
. - Sentido:
cresce com ; a sequência dos pontos notáveis mostra o sentido da rotação no plano . - Velocidade constante:
.
Resposta
Hélice circular de raio
em torno do eixo
, com parametrização
, raio
, pitch por volta
, ponto inicial
e sentido de percurso dado pela sequência
enquanto
aumenta.