Esboce o traço da curva C determinada pela função vetorial \mathbf{r}(t), sendo:
\mathbf{r}(t)=t \mathbf{i}-3 \sin t \mathbf{j}+3 \cos t \mathbf{k}, \quad t \geq 0

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
\mathbf{r}(t)=t\,\mathbf{i}-3\sin t\,\mathbf{j}+3\cos t\,\mathbf{k},\qquad t\ge 0,
e pede que eu esboce o traço da curva C determinada por essa parametrização.
Informações fornecidas e perguntas claramente identificadas:
  • A parametrização em coordenadas cartesianas é \,x(t)=t\,,\;y(t)=-3\sin t\,,\;z(t)=3\cos t\, para t\ge 0.
  • Preciso determinar a forma geométrica do traço (ou seja: que curva é essa, onde está localizada, como desenhá‑la e qual a orientação quando t cresce).
    Não há outras informações no enunciado nem figuras adicionais.

Passo 2

Escrever as componentes e eliminar o parâmetro para ver a superfície onde a curva vive. As componentes são
x(t)=t,\qquad y(t)=-3\sin t,\qquad z(t)=3\cos t.
Agora somo os quadrados de y(t) e z(t):
y(t)^2+z(t)^2 = (-3\sin t)^2 + (3\cos t)^2 = 9\sin^2 t + 9\cos^2 t = 9(\sin^2 t+\cos^2 t).
Usando a identidade trigonométrica \sin^2 t+\cos^2 t=1 obtemos a equação em forma fechada
y^2+z^2=9.
Esta é a equação de um cilindro circular de raio 3 cujo eixo é o eixo x.

Passo 3

Interpretação geométrica do resultado do passo anterior:
  • A curva está contida no cilindro
y^2+z^2=9,
ou seja, em todo ponto da curva a projeção no plano yz é um ponto a distância 3 da origem do plano yz. Portanto, a curva é uma linha que percorre circularmente o círculo de raio 3 no plano yz enquanto se desloca ao longo do eixo x.
  • Quando uma curva faz um círculo no plano perpendicular a um eixo enquanto avança ao longo desse eixo de forma contínua, isso é exatamente uma hélice circular. Logo C é uma hélice circular de raio 3 ao redor do eixo x.

Passo 4

Determinar a periodicidade angular e o avanço ao longo do eixo x por volta (o “passo” ou pitch da hélice).
  • As funções \sin t e \cos t têm período 2\pi. Assim, a projeção no plano yz completa uma volta quando t aumenta de t para t+2\pi.
  • Como x(t)=t, o incremento em x numa volta completa é
\Delta x = x(t+2\pi)-x(t)= (t+2\pi)-t = 2\pi.
Portanto, a hélice dá uma volta completa enquanto avança \,2\pi unidades ao longo do eixo x. Esse valor \,2\pi é o pitch (distância axial por volta).

Passo 5

Calcular pontos notáveis da curva para ter referências no esboço. Uso os valores t=0,\;\tfrac{\pi}{2},\;\pi,\;\tfrac{3\pi}{2},\;2\pi:
  • Para t=0:
\mathbf{r}(0)=(0,\,-3\sin 0,\,3\cos 0)=(0,0,3).
  • Para t=\tfrac{\pi}{2}:
\mathbf{r}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\Big(\tfrac{\pi}{2},\,-3\sin\tfrac{\pi}{2},\,3\cos\tfrac{\pi}{2}\Big)=\Big(\tfrac{\pi}{2},\,-3,\,0\Big).
  • Para t=\pi:
\mathbf{r}(\pi)=(\pi,\;0,\;-3).
  • Para t=\tfrac{3\pi}{2}:
\mathbf{r}\!\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=\Big(\tfrac{3\pi}{2},\;3,\,0\Big).
  • Para t=2\pi:
\mathbf{r}(2\pi)=(2\pi,\,0,\,3).
Esses pontos mostram uma volta completa: em x=0 começa em cima ( z=3), em x=\tfrac{\pi}{2} está no lado y=-3, em x=\pi está embaixo ( z=-3), em x=\tfrac{3\pi}{2} no lado y=3, e em x=2\pi volta ao topo com z=3 mas com x aumentada em 2\pi.

Passo 6

Verificar a orientação (sentido) e a velocidade da parametrização para saber como ligar os pontos no esboço.
  • Derivada da curva:
\mathbf{r}'(t)=\frac{d}{dt}\big(t\big)\mathbf{i}-3\cos t\,\mathbf{j}-3\sin t\,\mathbf{k}=\mathbf{i}-3\cos t\,\mathbf{j}-3\sin t\,\mathbf{k}.
  • Norma da velocidade (módulo de \mathbf{r}'(t)):
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{1^2+(-3\cos t)^2+(-3\sin t)^2}=\sqrt{1+9(\cos^2 t+\sin^2 t)}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}.
Logo a velocidade é constante e igual a \sqrt{10}. Isso significa que a curva é percorrida com rapidez uniforme.
  • Orientação: como \mathbf{r}'(t) tem componente positiva em \mathbf{i} (igual a 1), x aumenta com t. Pelo conjunto dos pontos notáveis vimos a sequência quando t cresce:
(0,0,3)\to\Big(\tfrac{\pi}{2},-3,0\Big)\to(\pi,0,-3)\to\Big(\tfrac{3\pi}{2},3,0\Big)\to(2\pi,0,3),
ou seja, a curva gira no plano yz percorrendo os pontos acima nessa ordem enquanto avança para +\!x.

Passo 7

Instruções práticas e dicas para esboçar à mão (passo a passo para desenhar no papel):
  1. Desenhe o eixo x horizontal (para a direita) e desenhe um eixo vertical para z e um eixo perpendicular no plano (para y) de forma a representar o espaço 3D com perspectiva simples.
  2. Desenhe um cilindro de eixo x (apenas os contornos das “circunferências” em alguns valores de x) de raio 3 para servir de guia: por exemplo corte o eixo x em x=0,\;x=\tfrac{\pi}{2},\;x=\pi,\;x=\tfrac{3\pi}{2},\;x=2\pi e em cada corte desenhe a circunferência de raio 3 no plano yz.
  3. Marque os pontos calculados no Passo 5 sobre essas circunferências: \mathbf{r}(0)=(0,0,3), \mathbf{r}(\tfrac{\pi}{2})=(\tfrac{\pi}{2},-3,0), etc.
  4. Una os pontos por uma linha suave em espiral que mantém raio 3 em relação ao eixo x e que avança para a direita (aumentando x) conforme a ordem dos pontos. Isso desenha a hélice.
  5. Indique com uma seta o sentido de crescimento de t (seta para a direita e para frente na espiral).
  6. Ao anotar características no desenho, escreva: raio =3, pitch por volta =2\pi, ponto inicial em t=0 é (0,0,3).

Passo 8

Resumo das propriedades essenciais para o esboço (úteis na prova para justificar o desenho):
  • A curva C é a hélice circular dada por
x=t,\qquad (y,z)=(-3\sin t,\,3\cos t).
  • Fica sobre o cilindro \,y^2+z^2=9.
  • Raio da hélice: 3.
  • Avanço axial por volta (pitch): 2\pi.
  • Sentido: x cresce com t; a sequência dos pontos notáveis mostra o sentido da rotação no plano yz.
  • Velocidade constante: \|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{10}.

Resposta

Hélice circular de raio 3 em torno do eixo x, com parametrização \mathbf{r}(t)=(t,-3\sin t,3\cos t), raio =3, pitch por volta =2\pi, ponto inicial \mathbf{r}(0)=(0,0,3) e sentido de percurso dado pela sequência (0,0,3)\to(\tfrac{\pi}{2},-3,0)\to(\pi,0,-3)\to(\tfrac{3\pi}{2},3,0)\to(2\pi,0,3) enquanto t aumenta.

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