Calcule:
\frac{d}{d x} \int_{0}^{x}\left(e^{\arctan t}\right) d t.

Passo 1

O enunciado pede a derivada em relação a x de
\int_{0}^{x} e^{\arctan t}\,dt.
O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo Integral, que relaciona derivada e integral.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo Integral afirma que, se
F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\,dt,
então
F'(x)=f(x).
Em outras palavras, ao derivar uma integral cujo limite superior é a própria variável de diferenciação, obtemos o integrando avaliado nesse limite.

Passo 3

Aqui temos f(t)=e^{\arctan t}. Aplicando diretamente o teorema, a derivada é
\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}e^{\arctan t}\,dt = e^{\arctan x}.

Resposta

\displaystyle e^{\arctan x}

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