Calcule:
\int_{0}^{1} \frac{d}{d x}\left(e^{\arctan x}\right) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{1} \frac{d}{dx}\bigl(e^{\arctan x}\bigr)\,dx.
Esse é um caso clássico de Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2), que diz que, se F'(x)=f(x), então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).

Passo 2

Identificamos a função F cuja derivada é o integrando. Basta ver que
F(x) = e^{\arctan x}
é exatamente a antiderivada procurada, pois
F'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(e^{\arctan x}\bigr).

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
\int_{0}^{1} \frac{d}{dx}\bigl(e^{\arctan x}\bigr)\,dx = F(1) - F(0).

Passo 4

Calculando os valores de F:
F(1) = e^{\arctan(1)} = e^{\pi/4}, \qquad F(0) = e^{\arctan(0)} = e^{0} = 1.
Logo,
F(1)-F(0) = e^{\pi/4} - 1.

Resposta

e^{\pi/4} - 1

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