Calcule as integrais indefinidas:
\int\left(\frac{x}{2}-\frac{2}{x}\right) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\Bigl(\tfrac{x}{2}-\tfrac{2}{x}\Bigr)\,dx.
Aqui vamos usar duas regras básicas: a regra da potência
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C
e a integral do inverso
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C.

Passo 2

Separe a integral em duas partes lineares:
\int\Bigl(\tfrac{x}{2}-\tfrac{2}{x}\Bigr)\,dx = \int \frac{x}{2}\,dx \;-\;\int \frac{2}{x}\,dx.

Passo 3

Calcule a primeira parte usando \int x\,dx = x^2/2, trazendo o fator 1/2 para fora:
\int \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{4}.

Passo 4

Calcule a segunda parte usando \int 1/x\,dx=\ln\lvert x\rvert, trazendo o fator 2 para fora:
\int \frac{2}{x}\,dx = 2\int \frac{1}{x}\,dx = 2\,\ln\lvert x\rvert.

Passo 5

Junte os resultados e acrescente a constante de integração C:
\int\Bigl(\tfrac{x}{2}-\tfrac{2}{x}\Bigr)\,dx = \frac{x^2}{4} -2\ln\lvert x\rvert + C.

Resposta

\frac{x^2}{4} \;-\; 2\ln\lvert x\rvert \;+\; C

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