Calcule.
\frac{d}{d x}\left(\sqrt{x}+\frac{2}{x}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada em relação a x de
\sqrt{x}+\frac{2}{x}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x)=\sqrt{x}+\dfrac{2}{x}.
  • Para que a expressão faça sentido (raiz e divisão), consideramos x>0.
  • Pedido: encontrar f'(x)=\dfrac{d}{dx}\!\left(\sqrt{x}+\dfrac{2}{x}\right).

Passo 2

Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, \dfrac{d}{dx}\big(u(x)+v(x)\big)=u'(x)+v'(x).
  • Regra do fator constante: a derivada de uma constante multiplicando uma função é a constante vezes a derivada da função. Ou seja, \dfrac{d}{dx}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot g'(x).
  • Regra da potência (power rule): para qualquer expoente real n, quando faz sentido, \dfrac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{\,n-1}.
    • Aqui n pode ser fracionário (por exemplo n=\tfrac{1}{2}) desde que x>0, então a fórmula vale.

Passo 3

Primeiro passo prático: reescrever as parcelas como potências para aplicar a regra da potência facilmente.
\sqrt{x}=x^{1/2}, \qquad \frac{2}{x}=2\cdot x^{-1}.
Logo
f(x)=x^{1/2}+2x^{-1}.

Passo 4

Aplicar as regras termo a termo:
  • Derivada de x^{1/2}: pela regra da potência,
\frac{d}{dx}\big(x^{1/2}\big)=\frac{1}{2}\,x^{\,1/2-1}=\frac{1}{2}\,x^{-1/2}.
Interpretação: multiplicou-se o expoente 1/2 por x^{(1/2)-1}=x^{-1/2}.
  • Derivada de 2x^{-1}: pela regra do fator constante e da potência,
\frac{d}{dx}\big(2x^{-1}\big)=2\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{-1}\big)=2\cdot(-1)\,x^{-2}=-2\,x^{-2}.

Passo 5

Somando as derivadas (regra da soma):
f'(x)=\frac{1}{2}\,x^{-1/2}-2\,x^{-2}.
Reescrevendo em forma com raízes:
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{2}{x^{2}}.
Se quiser juntar em única fração, o denominador comum 2x^{2}
f'(x)=\frac{x^{3/2}-4}{2x^{2}}=\frac{x\sqrt{x}-4}{2x^{2}}.
Lembrando que todas as expressões acima valem para x>0.

Resposta

\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-\dfrac{2}{x^{2}}

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