Calcule.
\frac{d}{d x}\left(x^{3} e^{x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função \,x^{3}e^{x} em relação a x.
Informações dadas:
  • A função é \,f(x)=x^{3}e^{x}.
  • A variável independente é x.
  • Objetivo: encontrar \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{3}e^{x}\bigr).

Passo 2

Vamos usar a regra do produto. Para duas funções u(x) e v(x), a derivada do produto é
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Aqui:
  • u(x) e v(x) são as duas funções que estão multiplicadas;
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x;
  • v'(x) é a derivada de v em relação a x.

Passo 3

Identificamos as duas funções do produto:
u(x)=x^{3},\qquad v(x)=e^{x}.

Passo 4

Calculamos u'(x) aplicando a regra da potência. A regra da potência diz que, para n real,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1},
onde n é o expoente. Aplicando com n=3,
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.

Passo 5

Calculamos v'(x). A derivada da função exponencial de base e é ela mesma:
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)=e^{x}.

Passo 6

Aplicando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}e^{x}\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=3x^{2}e^{x}+x^{3}e^{x}.

Passo 7

Fatoramos para simplificar a expressão. Podemos colocar e^{x} em evidência e também x^{2}:
3x^{2}e^{x}+x^{3}e^{x}=e^{x}\bigl(3x^{2}+x^{3}\bigr)=e^{x}x^{2}\bigl(3+x\bigr)=e^{x}x^{2}(x+3).

Resposta

e^{x}x^{2}(x+3)

Exercícios relacionados