Calcule.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
em relação a
. Informações dadas:
- A função é
. - A expressão
só está definida para , então o domínio natural do problema é . - Objetivo: encontrar
como uma função de .
Passo 2
Regra que vou usar primeiro: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Em fórmulas,
Isso vale sempre que
e
forem deriváveis. Aplicando aqui,
Passo 3
Derivada de
. A fórmula padrão é
válida para
. Uma explicação curta e intuitiva: escreva
, então
. Diferenciando ambos os lados em relação a
(usando derivada implícita),
logo
. Portanto
.
Passo 4
Derivada de
. Usamos a regra da potência: para qualquer número real
,
No caso
,
Se quiser ver pela definição de derivada:
e no limite
isso tende a
.
Passo 5
Agora somo as duas derivadas obtidas no Passo 3 e no Passo 4:
Opcionalmente pode-se escrever numa fração única:
lembrando que tudo isso vale para
(domínio de
).