Calcule.
\frac{d}{d x}\left(\ln x+x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função \ln x + x^{2} em relação a x. Informações dadas:
  • A função é f(x)=\ln x + x^{2}.
  • A expressão \ln x só está definida para x>0, então o domínio natural do problema é x>0.
  • Objetivo: encontrar \dfrac{d}{dx}\bigl(\ln x + x^{2}\bigr) como uma função de x.

Passo 2

Regra que vou usar primeiro: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Em fórmulas,
\frac{d}{dx}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=\frac{d}{dx}f(x)+\frac{d}{dx}g(x).
Isso vale sempre que f e g forem deriváveis. Aplicando aqui,
\frac{d}{dx}\bigl(\ln x + x^{2}\bigr)=\frac{d}{dx}\ln x + \frac{d}{dx}x^{2}.

Passo 3

Derivada de \ln x. A fórmula padrão é
\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x},
válida para x>0. Uma explicação curta e intuitiva: escreva y=\ln x, então x=e^{y}. Diferenciando ambos os lados em relação a x (usando derivada implícita),
1=\frac{d}{dx}\bigl(e^{y}\bigr)=e^{y}\frac{dy}{dx},
logo \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{e^{y}}=\dfrac{1}{x}. Portanto \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}.

Passo 4

Derivada de x^{2}. Usamos a regra da potência: para qualquer número real n,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
No caso n=2,
\frac{d}{dx}x^{2}=2x.
Se quiser ver pela definição de derivada: \dfrac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}=2x+h e no limite h\to0 isso tende a 2x.

Passo 5

Agora somo as duas derivadas obtidas no Passo 3 e no Passo 4:
\frac{d}{dx}\bigl(\ln x + x^{2}\bigr)=\frac{1}{x}+2x.
Opcionalmente pode-se escrever numa fração única:
\frac{1}{x}+2x=\frac{1+2x^{2}}{x},
lembrando que tudo isso vale para x>0 (domínio de \ln x).

Resposta

\dfrac{1}{x}+2x

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