Encontre \frac{d y}{d x} em cada caso:
y=3 x^{2}-11 x-5

Passo 1

O enunciado dá a função y em termos de x e pede a derivada \dfrac{dy}{dx}. Informações dadas:
  • y = 3x^{2} - 11x - 5.
  • Pedido: encontrar \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Conceitos e regras que vamos usar (explicados de forma simples):
  • Definição (intuição): a derivada \dfrac{dy}{dx} mede a taxa de variação de y em relação a x — geometricamente é a inclinação da reta tangente ao gráfico em cada x. Formalmente,
\frac{dy}{dx}=\lim_{h\to 0}\frac{y(x+h)-y(x)}{h},
mas para polinômios usamos regras prontas que vêm da definição.
  • Regra da linearidade (soma e fator constante): se u(x) e v(x) são funções e a,b constantes, então
\frac{d}{dx}\bigl(a\,u(x)+b\,v(x)\bigr)=a\,u'(x)+b\,v'(x).
Isto diz que podemos derivar termo a termo e puxar constantes para fora da derivada.
  • Regra da potência (power rule): para qualquer número real n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Combinando com a regra da constante multiplicativa,
\frac{d}{dx}\bigl(c\,x^{n}\bigr)=c\,n\,x^{n-1},
onde c é constante e n é o expoente.
  • Derivada de constante: se c é constante, então
\frac{d}{dx}c=0.
Explicação das variáveis: em x^{n}, x é a variável independente e n o expoente; em c\,x^{n}, c é uma constante multiplicativa.

Passo 3

Derivando o primeiro termo 3x^{2}. Aplicando a regra da potência com n=2 e levando a constante 3 para fora:
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)=3\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=3\cdot(2x^{1})=6x.
Detalhe: \frac{d}{dx}(x^{2})=2x pela regra da potência; então multiplicando por 3 6x.

Passo 4

Derivando o segundo termo -11x. Aqui x tem expoente 1, então pela regra da potência com n=1:
\frac{d}{dx}\bigl(-11x\bigr)=-11\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)=-11\cdot(1\cdot x^{0})=-11.
Comentário: x^{0}=1, então a derivada de x é 1, e multiplicando por -11 obtemos -11. Interpretando: uma função linear bx tem derivada constante b.

Passo 5

Derivando o terceiro termo constante -5:
\frac{d}{dx}(-5)=0,
pois constantes não variam com x.

Passo 6

Somando as derivadas termo a termo (pela linearidade):
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(3x^{2})+\frac{d}{dx}(-11x)+\frac{d}{dx}(-5)=6x+(-11)+0=6x-11.
Dica prática para a prova: se y=ax^{2}+bx+c, então \dfrac{dy}{dx}=2ax+b. Aqui a=3 e b=-11, então \dfrac{dy}{dx}=2\cdot3\cdot x+(-11)=6x-11.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=6x-11

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