Calcule
em cada caso (derivada implícita):
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para calcular
. Importante: aqui
é uma função de
, ou seja,
. Então o que queremos é a derivada de
em relação a
, escrita
ou
.
Passo 2
Vamos revisar uma ferramenta essencial: a regra do produto. Se
e
são funções diferenciáveis, então a derivada do produto é
Aqui
significa
e
significa
. Exemplo rápido para fixar: para
e
,
Passo 3
Aplique a diferenciação em ambos os lados da equação
. Diferenciando em relação a
e usando a regra do produto com
e
:
O lado esquerdo vira, pela regra do produto,
O lado direito é derivada da constante
, que é
. Portanto obtemos a equação
Passo 4
Agora isolamos
. Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo por
(supondo
):
Isso é a derivada implícita de
em termos de
e
.
Passo 5
Como checagem e para ver outra forma, podemos resolver explicitamente a equação original:
. Diferenciando explicitamente com a regra da potência:
Substituindo
na forma implícita
obtemos
que coincide com a derivada obtida explicitamente. Beleza — as duas formas batem.