Calcule \frac{d y}{d x} em cada caso (derivada implícita):
x^{3}+y^{3}=6 x y

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
x^{3}+y^{3}=6xy
e pede para calcular \dfrac{dy}{dx} (a derivada de y em relação a x), sabendo que y é função de x (ou seja, y=y(x)).
Informações relevantes:
  • A equação relaciona x e y e não dá y explicitamente em função de x.
  • Quer-se a derivada implícita \dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Regras de diferenciação que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da potência: a derivada de x^{n} em relação a x é n x^{n-1}. Ex.: \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
  • Regra da cadeia: se uma quantidade u depende de x (por exemplo u=y(x)), a derivada de u^{3} é 3u^{2}\dfrac{du}{dx}. No nosso caso, \dfrac{d}{dx}y^{3}=3y^{2}\dfrac{dy}{dx}. Isso acontece porque derivamos a potência externa e multiplicamos pela derivada da parte interna ( y).
  • Regra do produto: a derivada de x\cdot y(x) é x\cdot \dfrac{dy}{dx} + y(x)\cdot 1. Em símbolos, \dfrac{d}{dx}[x y]=x\,y'+y.
  • Constante multiplicativa: se uma expressão é multiplicada por uma constante (ex.: 6), a constante sai como fator na derivada: \dfrac{d}{dx}[6\cdot f(x)]=6\cdot f'(x).

Passo 3

Agora diferenciamos os dois lados da equação em relação a x. Diferenciando termo a termo:
Derivada do lado esquerdo:
\frac{d}{dx}\big(x^{3}+y^{3}\big)=\frac{d}{dx}x^{3}+\frac{d}{dx}y^{3}.
Aplicando a regra da potência e a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2},\qquad \frac{d}{dx}y^{3}=3y^{2}\frac{dy}{dx}.
Portanto o lado esquerdo vira
3x^{2}+3y^{2}\frac{dy}{dx}.
Derivada do lado direito:
\frac{d}{dx}\big(6xy\big)=6\frac{d}{dx}(xy).
Usando a regra do produto em \dfrac{d}{dx}(xy):
\frac{d}{dx}(xy)=x\frac{dy}{dx}+y.
Multiplicando por 6:
\frac{d}{dx}(6xy)=6\big(x\frac{dy}{dx}+y\big)=6x\frac{dy}{dx}+6y.
Então a equação diferenciada é
3x^{2}+3y^{2}\frac{dy}{dx}=6x\frac{dy}{dx}+6y.

Passo 4

Agora isolamos \dfrac{dy}{dx}. Primeiro agrupamos os termos que contêm \dfrac{dy}{dx} num lado e os outros no lado oposto:
3y^{2}\frac{dy}{dx}-6x\frac{dy}{dx}=6y-3x^{2}.
Fatorando \dfrac{dy}{dx} no lado esquerdo:
\left(3y^{2}-6x\right)\frac{dy}{dx}=6y-3x^{2}.
Para obter \dfrac{dy}{dx}, dividimos ambos os lados por 3y^{2}-6x:
\frac{dy}{dx}=\frac{6y-3x^{2}}{3y^{2}-6x}.

Passo 5

Simplificamos a fração retirando o fator comum 3 do numerador e do denominador:
6y-3x^{2}=3(2y-x^{2}),\qquad 3y^{2}-6x=3(y^{2}-2x).
Cancelando 3:
\frac{dy}{dx}=\frac{2y-x^{2}}{y^{2}-2x}.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2y-x^{2}}{y^{2}-2x}

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