Calcule
, derivando implicitamente
=x \operatorname{sen}$y^{2}$)
Passo 1
O enunciado pede para calcular
derivando implicitamente a equação dada. A equação fornecida (corrigindo a notação) é
Informações relevantes que temos:
-
é função de (ou seja, ); quando derivarmos em relação a aparecerá , que vou anotar por . - A equação relaciona
e implicitamente; precisamos diferenciar ambos os lados em relação a e isolar . - A pergunta é: calcular
em termos de e .
Passo 2
Relembrando as regras de diferenciação que vamos usar (com explicações simples):
- Regra do produto: se temos duas funções
e , então
Isto significa “derivar a primeira vezes a segunda + a primeira vezes a derivada da segunda”.
- Regra da cadeia: se
, então
Ou seja, derivamos a função externa (
vira
) e multiplicamos pela derivada do argumento
.
- Derivadas básicas:
e, ao derivar em relação a , escrevemos .
Exemplos rápidos para fixar:
-
(aqui , então ). -
(porque depende de : primeiro e depois multiplicamos por ).
Passo 3
Aplicando a regra do produto ao lado esquerdo
:
- Tomamos
e . - Pela regra do produto:
- Usando a regra da cadeia para
:
- Logo o lado esquerdo derivado fica
Passo 4
Agora o lado direito
:
- Tomamos
e . - Pela regra do produto:
- Aplicando a regra da cadeia para
, lembrando que :
- Portanto o lado direito derivado fica
Passo 5
Agora igualamos as duas derivadas (porque derivamos ambos os lados da igualdade original):
Queremos isolar
. Vamos agrupar todos os termos com
no lado esquerdo e os demais no lado direito.
Subtrai-se
de ambos os lados e subtrai-se
de ambos os lados:
Agora fatoramos
no lado esquerdo:
Passo 6
Finalmente isolamos
dividindo pelo fator
(desde que esse fator não seja zero):
Isso é exatamente
em termos de
e
. Observe que, se o denominador for zero em algum ponto, a derivada implícita não está definida ali (essa é uma observação técnica importante para a prova).