Calcule \frac{d y}{d x}, derivando implicitamente
y \operatorname{sen}\\(x^{2}=x \operatorname{sen}$y^{2}$)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \dfrac{d y}{d x} derivando implicitamente a equação dada. A equação fornecida (corrigindo a notação) é
y \sin\!\bigl(x^{2}\bigr)=x \sin\!\bigl(y^{2}\bigr).
Informações relevantes que temos:
  • y é função de x (ou seja, y=y(x)); quando derivarmos \,y em relação a x aparecerá \dfrac{dy}{dx}, que vou anotar por y'.
  • A equação relaciona x e y(x) implicitamente; precisamos diferenciar ambos os lados em relação a x e isolar y'.
  • A pergunta é: calcular \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y.

Passo 2

Relembrando as regras de diferenciação que vamos usar (com explicações simples):
  • Regra do produto: se temos duas funções u(x) e v(x), então
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Isto significa “derivar a primeira vezes a segunda + a primeira vezes a derivada da segunda”.
  • Regra da cadeia: se z(x)=\sin\bigl(u(x)\bigr), então
z'(x)=\cos\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Ou seja, derivamos a função externa ( \sin vira \cos) e multiplicamos pela derivada do argumento u(x).
  • Derivadas básicas: \dfrac{d}{dx}x=1 e, ao derivar y(x) em relação a x, escrevemos y'.
Exemplos rápidos para fixar:
  • \dfrac{d}{dx}\sin(x^{2})=\cos(x^{2})\cdot 2x (aqui u(x)=x^{2}, então u'(x)=2x).
  • \dfrac{d}{dx}\sin(y^{2})=\cos(y^{2})\cdot 2y\cdot y' (porque y depende de x: primeiro \cos(y^{2}) e depois multiplicamos por \dfrac{d}{dx}(y^{2})=2y\cdot y').

Passo 3

Aplicando a regra do produto ao lado esquerdo \,y \sin(x^{2}):
  • Tomamos u(x)=y(x) e v(x)=\sin(x^{2}).
  • Pela regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(y\sin(x^{2})\bigr)=y'\sin(x^{2}) + y\cdot\frac{d}{dx}\sin(x^{2}).
  • Usando a regra da cadeia para \dfrac{d}{dx}\sin(x^{2}):
\frac{d}{dx}\sin(x^{2})=\cos(x^{2})\cdot 2x.
  • Logo o lado esquerdo derivado fica
y'\sin(x^{2}) + y\cdot 2x\cos(x^{2}).

Passo 4

Agora o lado direito \,x \sin(y^{2}):
  • Tomamos u(x)=x e v(x)=\sin(y^{2}).
  • Pela regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(x\sin(y^{2})\bigr)=1\cdot\sin(y^{2}) + x\cdot\frac{d}{dx}\sin(y^{2}).
  • Aplicando a regra da cadeia para \dfrac{d}{dx}\sin(y^{2}), lembrando que y=y(x):
\frac{d}{dx}\sin(y^{2})=\cos(y^{2})\cdot\frac{d}{dx}(y^{2})=\cos(y^{2})\cdot 2y\cdot y'.
  • Portanto o lado direito derivado fica
\sin(y^{2}) + x\cdot\bigl(\cos(y^{2})\cdot 2y\cdot y'\bigr)=\sin(y^{2}) + 2xy\cos(y^{2})\,y'.

Passo 5

Agora igualamos as duas derivadas (porque derivamos ambos os lados da igualdade original):
y'\sin(x^{2}) + 2xy\cos(x^{2}) = \sin(y^{2}) + 2xy\cos(y^{2})\,y'.
Queremos isolar y'. Vamos agrupar todos os termos com y' no lado esquerdo e os demais no lado direito.
Subtrai-se 2xy\cos(y^{2})\,y' de ambos os lados e subtrai-se 2xy\cos(x^{2}) de ambos os lados:
y'\sin(x^{2}) - 2xy\cos(y^{2})\,y' = \sin(y^{2}) - 2xy\cos(x^{2}).
Agora fatoramos y' no lado esquerdo:
y'\bigl(\sin(x^{2}) - 2xy\cos(y^{2})\bigr) = \sin(y^{2}) - 2xy\cos(x^{2}).

Passo 6

Finalmente isolamos y' dividindo pelo fator \bigl(\sin(x^{2}) - 2xy\cos(y^{2})\bigr) (desde que esse fator não seja zero):
y' = \frac{\sin(y^{2}) - 2xy\cos(x^{2})}{\sin(x^{2}) - 2xy\cos(y^{2})}.
Isso é exatamente \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y. Observe que, se o denominador for zero em algum ponto, a derivada implícita não está definida ali (essa é uma observação técnica importante para a prova).

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{\sin(y^{2}) - 2xy\cos(x^{2})}{\sin(x^{2}) - 2xy\cos(y^{2})}

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