Considere a curva
(a) Calcule a equação da reta tangente da curva nos pontos
e
.
(b) Em quais pontos com
a curva tem reta tangente horizontal?
(b) Em quais pontos com
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede duas coisas:
(a) Calcular a equação da reta tangente da curva nos pontos
e
.
(b) Determinar em quais pontos com
a curva tem reta tangente horizontal.
Informações relevantes fornecidas: a equação implícita da curva e os dois pontos para (a); para (b) devemos procurar pontos da curva com inclinação zero (reta tangente horizontal) e com abscissa negativa.
Passo 2
Vamos obter a derivada
da curva por diferenciação implícita — aqui eu explico isso passo a passo como você pode fazer na prova.
Quando temos uma equação que envolve
e
e
depende de
(ou seja,
), diferenciamos ambos os lados em relação a
. Ao diferenciar uma expressão que contém
, usamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
, onde
. Do lado direito usamos derivação normal em
.
Aplicando isso à nossa curva:
Passo 3
Isolamos
(a inclinação da reta tangente) dividindo ambos os lados por
. Assim obtemos a fórmula da derivada:
Podemos fatorar o numerador para ficar mais claro:
Interpretação útil na prova:
- A reta tangente é horizontal quando
, ou seja quando o numerador . - A derivada é indefinida quando
(denominador zero); nesses pontos a fórmula precisa ser vista com cuidado.
Passo 4
Agora parte (a): calcular a reta tangente em
. Primeiro calculo a inclinação
usando a fórmula da derivada. Substituo
e
:
Agora uso a fórmula ponto-inclinação da reta tangente: para um ponto
e inclinação
,
Aplicando com
e
:
Isolando
:
Forma alternativa (multiplicando por
) para quem prefere coeficientes inteiros:
Passo 5
Agora a reta tangente em
. Calculo a inclinação com
e
:
Usando a fórmula ponto-inclinação com
e
:
Forma alternativa inteira:
Passo 6
Parte (b): procurar pontos com
onde a reta tangente é horizontal. Como dito, reta horizontal ocorre quando
, isto é quando o numerador
. Resolvo:
O enunciado pede apenas pontos com
, então
é a opção relevante (
é excluído por
). Ainda assim, por completude: em
temos
pela curva e ali a fórmula deu denominador zero, então é um caso singular (não é um ponto com
de qualquer forma).
Para
obtemos os
na curva substituindo em
. Substituo
:
Logo
dá
ou
. Precisamos verificar se nesses pontos o denominador
é zero: aqui
não é zero, então a derivada é bem definida e vale zero (porque numerador é zero). Portanto temos duas tangentes horizontais com
: os pontos
e
.
Resposta
(a)
e
(b)
e