Considere a curva
y^{2}=x^{3}+3 x^{2}
(a) Calcule a equação da reta tangente da curva nos pontos (1,-2) e (1,2).
(b) Em quais pontos com x<0 a curva tem reta tangente horizontal?

Passo 1

O enunciado dá a curva
y^{2}=x^{3}+3x^{2}
e pede duas coisas:
(a) Calcular a equação da reta tangente da curva nos pontos (1,-2) e (1,2).
(b) Determinar em quais pontos com x<0 a curva tem reta tangente horizontal.
Informações relevantes fornecidas: a equação implícita da curva e os dois pontos para (a); para (b) devemos procurar pontos da curva com inclinação zero (reta tangente horizontal) e com abscissa negativa.

Passo 2

Vamos obter a derivada y' da curva por diferenciação implícita — aqui eu explico isso passo a passo como você pode fazer na prova.
Quando temos uma equação que envolve x e y e y depende de x (ou seja, y=y(x)), diferenciamos ambos os lados em relação a x. Ao diferenciar uma expressão que contém y, usamos a regra da cadeia: a derivada de y^{2} em relação a x é 2y\cdot y', onde y'=\dfrac{dy}{dx}. Do lado direito usamos derivação normal em x.
Aplicando isso à nossa curva:
\text{diferenciando } y^{2}=x^{3}+3x^{2}\text{ em relação a }xçã
2y\cdot y' = 3x^{2}+6x.

Passo 3

Isolamos y' (a inclinação da reta tangente) dividindo ambos os lados por 2y. Assim obtemos a fórmula da derivada:
y'=\dfrac{3x^{2}+6x}{2y}.
Podemos fatorar o numerador para ficar mais claro:
y'=\dfrac{3x(x+2)}{2y}.
Interpretação útil na prova:
  • A reta tangente é horizontal quando y'=0, ou seja quando o numerador 3x(x+2)=0.
  • A derivada é indefinida quando y=0 (denominador zero); nesses pontos a fórmula precisa ser vista com cuidado.

Passo 4

Agora parte (a): calcular a reta tangente em (1,-2). Primeiro calculo a inclinação m usando a fórmula da derivada. Substituo x=1 e y=-2:
m = y'(1,-2)=\dfrac{3\cdot 1(1+2)}{2\cdot(-2)}=\dfrac{3\cdot 3}{-4}=\dfrac{9}{-4}=-\dfrac{9}{4}.
Agora uso a fórmula ponto-inclinação da reta tangente: para um ponto (x_{0},y_{0}) e inclinação m,
y-y_{0}=m(x-x_{0}).
Aplicando com (x_{0},y_{0})=(1,-2) e m=-\dfrac{9}{4}:
y-(-2)=-\dfrac{9}{4}(x-1)
y+2=-\dfrac{9}{4}x+\dfrac{9}{4}.
Isolando y:
y=-\dfrac{9}{4}x+\dfrac{9}{4}-2=-\dfrac{9}{4}x+\dfrac{1}{4}.
Forma alternativa (multiplicando por 4) para quem prefere coeficientes inteiros:
4y=-9x+1\quad\text{ou}\quad 9x+4y-1=0.

Passo 5

Agora a reta tangente em (1,2). Calculo a inclinação com x=1 e y=2:
m = y'(1,2)=\dfrac{3\cdot 1(1+2)}{2\cdot 2}=\dfrac{9}{4}=\tfrac{9}{4}.
Usando a fórmula ponto-inclinação com (1,2) e m=\tfrac{9}{4}:
y-2=\tfrac{9}{4}(x-1)
y=\tfrac{9}{4}x-\tfrac{9}{4}+2=\tfrac{9}{4}x-\tfrac{1}{4}.
Forma alternativa inteira:
4y=9x-1\quad\text{ou}\quad 9x-4y-1=0.

Passo 6

Parte (b): procurar pontos com x<0 onde a reta tangente é horizontal. Como dito, reta horizontal ocorre quando y'=0, isto é quando o numerador 3x(x+2)=0. Resolvo:
3x(x+2)=0 \Longrightarrow x=0 \quad\text{ou}\quad x=-2.
O enunciado pede apenas pontos com x<0, então x=-2 é a opção relevante ( x=0 é excluído por x<0 ). Ainda assim, por completude: em x=0 temos y=0 pela curva e ali a fórmula deu denominador zero, então é um caso singular (não é um ponto com x<0 de qualquer forma).
Para x=-2 obtemos os y na curva substituindo em y^{2}=x^{3}+3x^{2}. Substituo x=-2:
y^{2}=(-2)^{3}+3(-2)^{2}=-8+3\cdot 4=-8+12=4.
Logo y^{2}=4 y=2 ou y=-2. Precisamos verificar se nesses pontos o denominador 2y é zero: aqui y=\pm 2 não é zero, então a derivada é bem definida e vale zero (porque numerador é zero). Portanto temos duas tangentes horizontais com x<0: os pontos (-2,2) e (-2,-2).

Resposta

(a) \;y=-\dfrac{9}{4}x+\dfrac{1}{4} e \;y=\dfrac{9}{4}x-\dfrac{1}{4}
(b) (-2,2) e (-2,-2)

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