Deriver as seguintes funções por primeiro isolar
:
(a)
Agora derive as funções de novo usando derivação implícita, e confirme que as respostas obtidas dos dois métodos são iguais.
(a)
Agora derive as funções de novo usando derivação implícita, e confirme que as respostas obtidas dos dois métodos são iguais.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede duas coisas: primeiro isolar
e derivar a função resultante (ou seja, obter
a partir da expressão explícita de
); depois derivar novamente usando derivação implícita a partir da equação dada e confirmar que os resultados coincidem. Informação importante que vem do enunciado: a equação vale para
onde a divisão por
é permitida (mais adiante vamos apontar isso).
Passo 2
Isolando
: primeiro movemos os termos que não têm
para o outro lado.
Agora dividimos ambos os lados por
. Aqui é importante notar que isso só é válido quando
. Fazendo a divisão:
Para ficar mais confortável para derivar, vamos separar cada termo dividindo por
:
Observação prática: escrevi
como
mentalmente na hora de derivar — vou usar isso no próximo passo.
Passo 3
Derivando a expressão explícita de
. Vou usar regras básicas de derivação:
- Regra da soma:
. - Regra do coeficiente constante:
. - Regra da potência (power rule):
para qualquer real .
Aplicando termo a termo a expressão
. Reescrevo
como
para usar a regra da potência:
Agora calculo cada derivada:
Substituindo:
Em formas equivalentes:
ou, juntando em um único quociente com denominador
,
Essas são todas a mesma expressão; guarde-a para comparar com o resultado da derivação implícita.
Passo 4
Pequena explicação das regras usadas (rapidamente e com um exemplo fácil):
- Power rule: para
, a derivada é . Ex.: ; para , . - Constante: a derivada de uma constante é zero; ex.:
. - Multiplicador constante:
. Ex.: . - Soma: derivada de soma é soma das derivadas.
Passo 5
Agora derivação implícita diretamente da equação original. Começamos por
Derivamos ambos os lados em relação a
. Lembre-se que
depende de
, logo ao derivar um produto como
usamos a regra do produto:
- Regra do produto:
, onde e são derivadas em relação a .
Aplicando:
Calculando cada termo:
Substituindo:
Isolando
:
Essa é a expressão para
obtida por derivação implícita — ainda envolve
. Para comparar com o resultado do passo anterior, vamos substituir a expressão de
que encontramos no Passo 2:
.
Passo 6
Substituindo
na expressão implícita de
:
Simplifico o numerador passo a passo:
- Primeiro somo
com , que se anulam. - Depois
.
Então o numerador fica
com um sinal negativo à frente (porque havia um
na fórmula), mas atenção: reavalio os sinais cuidadosamente:
Fazendo a conta com cuidado:
Então
Calculando cada fração:
Portanto
que é exatamente a mesma expressão encontrada no Passo 3.
Passo 7
Concluímos que os dois métodos — isolar
e derivar a função explícita, e derivação implícita diretamente da equação — dão o mesmo resultado para
. Lembre que a expressão explícita de
exigiu
, e a derivada também assume
(por causa dos termos com
no denominador).