Deriver as seguintes funções por primeiro isolar y:
(a) x y+2 x+3 x^{3}=4
Agora derive as funções de novo usando derivação implícita, e confirme que as respostas obtidas dos dois métodos são iguais.

Passo 1

O enunciado dá a equação
x y + 2x + 3x^{3} = 4
e pede duas coisas: primeiro isolar y e derivar a função resultante (ou seja, obter \dfrac{dy}{dx} a partir da expressão explícita de y); depois derivar novamente usando derivação implícita a partir da equação dada e confirmar que os resultados coincidem. Informação importante que vem do enunciado: a equação vale para x onde a divisão por x é permitida (mais adiante vamos apontar isso).

Passo 2

Isolando y: primeiro movemos os termos que não têm y para o outro lado.
x y = 4 - 2x - 3x^{3}.
Agora dividimos ambos os lados por x. Aqui é importante notar que isso só é válido quando x \neq 0. Fazendo a divisão:
y = \frac{4 - 2x - 3x^{3}}{x}.
Para ficar mais confortável para derivar, vamos separar cada termo dividindo por x:
y = \frac{4}{x} - 2 - 3x^{2}.
Observação prática: escrevi \dfrac{4}{x} como 4x^{-1} mentalmente na hora de derivar — vou usar isso no próximo passo.

Passo 3

Derivando a expressão explícita de y. Vou usar regras básicas de derivação:
  • Regra da soma: \dfrac{d}{dx}(u+v)=u'+v'.
  • Regra do coeficiente constante: \dfrac{d}{dx}(c\cdot u)=c\cdot u'.
  • Regra da potência (power rule): \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1} para qualquer real n.
Aplicando termo a termo a expressão y = \dfrac{4}{x} - 2 - 3x^{2}. Reescrevo \dfrac{4}{x} como 4x^{-1} para usar a regra da potência:
\frac{dy}{dx} = 4\cdot \frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr) - \frac{d}{dx}(2) - 3\cdot \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr).
Agora calculo cada derivada:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr) = -1\cdot x^{-2} = -x^{-2},
\frac{d}{dx}(2)=0,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
Substituindo:
\frac{dy}{dx} = 4\cdot(-x^{-2}) - 0 - 3\cdot(2x).
\frac{dy}{dx} = -4x^{-2} -6x.
Em formas equivalentes:
\frac{dy}{dx} = -\frac{4}{x^{2}} -6x
ou, juntando em um único quociente com denominador x^{2},
\frac{dy}{dx} = -\frac{4 + 6x^{3}}{x^{2}}.
Essas são todas a mesma expressão; guarde-a para comparar com o resultado da derivação implícita.

Passo 4

Pequena explicação das regras usadas (rapidamente e com um exemplo fácil):
  • Power rule: para x^{n}, a derivada é n x^{n-1}. Ex.: \dfrac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}; para n=-1, \dfrac{d}{dx}x^{-1}=-x^{-2}.
  • Constante: a derivada de uma constante é zero; ex.: \dfrac{d}{dx}5=0.
  • Multiplicador constante: \dfrac{d}{dx}(c\cdot f(x))=c\cdot f'(x). Ex.: \dfrac{d}{dx} (3x^{2}) = 3\cdot 2x = 6x.
  • Soma: derivada de soma é soma das derivadas.

Passo 5

Agora derivação implícita diretamente da equação original. Começamos por
x y + 2x + 3x^{3} = 4.
Derivamos ambos os lados em relação a x. Lembre-se que y=y(x) depende de x, logo ao derivar um produto como x y usamos a regra do produto:
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}(u\cdot v)=u'v + uv', onde u' e v' são derivadas em relação a x.
Aplicando:
\frac{d}{dx}(x y) + \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(3x^{3}) = \frac{d}{dx}(4).
Calculando cada termo:
\frac{d}{dx}(x y)=\frac{d}{dx}(x)\cdot y + x\cdot \frac{d}{dx}(y) = 1\cdot y + x\cdot y' = y + x y',
\frac{d}{dx}(2x)=2,
\frac{d}{dx}(3x^{3})=9x^{2},
\frac{d}{dx}(4)=0.
Substituindo:
y + x y' + 2 + 9x^{2} = 0.
Isolando y':
x y' = -y -2 -9x^{2},
y' = -\frac{y + 2 + 9x^{2}}{x}.
Essa é a expressão para y' obtida por derivação implícita — ainda envolve y. Para comparar com o resultado do passo anterior, vamos substituir a expressão de y que encontramos no Passo 2: y = \dfrac{4}{x} -2 -3x^{2}.

Passo 6

Substituindo y = \dfrac{4}{x} -2 -3x^{2} na expressão implícita de y':
y' = -\frac{\left(\dfrac{4}{x} -2 -3x^{2}\right) + 2 + 9x^{2}}{x}.
Simplifico o numerador passo a passo:
  • Primeiro somo -2 com +2, que se anulam.
  • Depois -3x^{2} + 9x^{2} = 6x^{2}.
    Então o numerador fica
\frac{4}{x} + 6x^{2}
com um sinal negativo à frente (porque havia um - na fórmula), mas atenção: reavalio os sinais cuidadosamente:
Fazendo a conta com cuidado:
\left(\dfrac{4}{x} -2 -3x^{2}\right) + 2 + 9x^{2} = \dfrac{4}{x} + (-2+2) + (-3x^{2}+9x^{2}) = \dfrac{4}{x} + 6x^{2}.
Então
y' = -\frac{\dfrac{4}{x} + 6x^{2}}{x} = -\left(\frac{4}{x}\cdot\frac{1}{x} + \frac{6x^{2}}{x}\right).
Calculando cada fração:
\frac{4}{x}\cdot\frac{1}{x} = \frac{4}{x^{2}},\qquad \frac{6x^{2}}{x}=6x.
Portanto
y' = -\frac{4}{x^{2}} - 6x,
que é exatamente a mesma expressão encontrada no Passo 3.

Passo 7

Concluímos que os dois métodos — isolar y e derivar a função explícita, e derivação implícita diretamente da equação — dão o mesmo resultado para \dfrac{dy}{dx}. Lembre que a expressão explícita de y exigiu x\neq 0, e a derivada também assume x\neq 0 (por causa dos termos com x no denominador).

Resposta

\frac{dy}{dx} = -\frac{4}{x^{2}} - 6x

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