Calcule \frac{d z}{d t}, usando a regra da cadeia para uma variável indenpendente.
z=\operatorname{sen} x y, x=3 te y=t^{2}.

Passo 1

O enunciado dá
z = \operatorname{sen}(x\,y), \quad x = 3, \quad y = t^{2}
e pede \tfrac{dz}{dt} usando a regra da cadeia para funções de duas variáveis em que x e y dependem de t.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de z em relação a x e y. Como
z = \operatorname{sen}(x y),
temos
\frac{\partial z}{\partial x} = y\cos(xy), \qquad \frac{\partial z}{\partial y} = x\cos(xy).

Passo 3

Agora achamos \tfrac{dx}{dt} e \tfrac{dy}{dt}. Como x=3 é constante,
\frac{dx}{dt} = 0,
e como y=t^{2},
\frac{dy}{dt} = 2t.

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia:
\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.

Passo 5

Substituindo as parciais e as derivadas de x e y:
\frac{dz}{dt} = \bigl(y\cos(xy)\bigr)\cdot0 + \bigl(x\cos(xy)\bigr)\cdot(2t) = 2t\,x\cos(xy).
Como x=3 e y=t^{2}, fica
\frac{dz}{dt} = 2t\cdot3\cos\bigl(3\,t^{2}\bigr) = 6t\cos\bigl(3t^{2}\bigr).

Resposta

\frac{dz}{dt} = 6t\cos\bigl(3t^{2}\bigr).

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