INTEGRAÇÃO DE FRAÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS
EXERCÍCIOS - LISTA 5
Calcule a integral.
\int \frac{5 x^{2}-10 x-8}{x^{3}-4 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{5x^{2}-10x-8}{x^{3}-4x}\,dx
usando frações parciais. Vamos precisar fatorar o denominador, decompor a função racional em parcelas simples e depois integrar termo a termo usando \int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln\lvert x-a\rvert + C.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^{3}-4x = x\,(x^{2}-4) = x\,(x-2)\,(x+2).
Então supomos a decomposição
\frac{5x^{2}-10x-8}{x\,(x-2)\,(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x+2}.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x(x-2)(x+2)\) e igualamos numeradores: \[5x^{2}-10x-8 = A\,(x-2)(x+2) + B\,x(x+2) + C\,x(x-2).
Expandindo:
A(x^{2}-4) + B(x^{2}+2x) + C(x^{2}-2x) = (A+B+C)x^{2} + (2B-2C)x + (-4A).
Igualando coeficientes a 5x^2 -10x -8 obtemos o sistema
\begin{cases} A + B + C = 5,\\\\ 2B - 2C = -10,\\\\ -4A = -8. \end{cases}
Da terceira equação vem A=2\]. Substituindo na primeira e segunda: \[B + C = 5 - 2 = 3, \quad B - C = -5\] resolvendo dá \(B=-1 e C=4.

Passo 4

A decomposição fica
\frac{5x^{2}-10x-8}{x(x-2)(x+2)} = \frac{2}{x} - \frac{1}{x-2} + \frac{4}{x+2}.
Agora integramos cada termo:
\int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln\lvert x\rvert, \quad \int \!\bigl(-\tfrac{1}{x-2}\bigr)\,dx = -\ln\lvert x-2\rvert, \quad \int \frac{4}{x+2}\,dx = 4\ln\lvert x+2\rvert.

Resposta

\int \frac{5x^{2}-10x-8}{x^{3}-4x}\,dx = 2\ln\lvert x\rvert - \ln\lvert x-2\rvert + 4\ln\lvert x+2\rvert + C.

Exercícios relacionados