Calcule as integrais abaixo:
\int \frac{d x}{\left(x^{2}-1\right)^{3 / 2}}, x>1

Passo 1

O problema pede a antiderivada
\int \frac{dx}{(x^{2}-1)^{3/2}},
considerando x>1. O conteúdo é integração por substituição trigonométrica, já que temos uma expressão da forma (x^{2}-1)^{n}. Vamos usar a substituição x=\operatorname{sec}\theta.

Passo 2

Fazendo x=\operatorname{sec}\theta com \theta\in(0,\tfrac{\pi}{2}), temos
dx=\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta \quad\text{e}\quad x^{2}-1=\operatorname{sec}^{2}\theta-1=\tan^{2}\theta.
Logo
(x^{2}-1)^{3/2}=(\tan^{2}\theta)^{3/2}=\tan^{3}\theta,
já que \tan\theta\ge0 nesse intervalo.

Passo 3

Substituindo na integral,
\int \frac{dx}{(x^{2}-1)^{3/2}} =\int \frac{\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta}{\tan^{3}\theta} =\int \frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan^{2}\theta}\,d\theta.
Como \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1, mas fica mais direto usar a identidade
\frac{\operatorname{sec}\theta}{\tan^{2}\theta} =\frac{1/\cos\theta}{\sin^{2}\theta/\cos^{2}\theta} =\frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}.

Passo 4

Observamos que
\frac{d}{d\theta}\bigl(\csc\theta\bigr) =-\csc\theta\cot\theta =-\frac{1}{\sin\theta}\,\frac{\cos\theta}{\sin\theta} =-\frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}.
Portanto
\int \frac{\cos\theta}{\sin^{2}\theta}\,d\theta =-\int d\bigl(\csc\theta\bigr) =-\csc\theta + C.

Passo 5

Fazendo a volta para x, temos \operatorname{sec}\theta=x e
\sin\theta = \sqrt{1-\cos^{2}\theta} =\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}} =\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}.
Logo
\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} =\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}},
e a antiderivada fica
-\csc\theta + C =-\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} + C.

Resposta

\int \frac{dx}{(x^{2}-1)^{3/2}} =-\frac{x}{\sqrt{x^{2}-1}} + C.

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