Calcule:
(-1-\sqrt{3} i)^{6}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \bigl(-1-\sqrt{3}\,i\bigr)^{6}. O conteúdo envolve potências de número complexo e a forma trigonométrica, usando a fórmula de De Moivre.

Passo 2

Denote
z = -1 - \sqrt{3}\,i.
Calculamos o módulo
r = |z| = \sqrt{(-1)^2 + \bigl(-\sqrt{3}\bigr)^2} = \sqrt{1 + 3} = 2
e o argumento. Como x=-1<0 e y=-\sqrt{3}<0, z está no 3.º quadrante e
\theta = \pi + \arctan\!\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{1}\Bigr) = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}.
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z = 2\bigl(\cos(\tfrac{4\pi}{3}) + i\sin(\tfrac{4\pi}{3})\bigr).

Passo 3

Pela fórmula de De Moivre,
z^{6} = 2^{6}\bigl[\cos\bigl(6\cdot\tfrac{4\pi}{3}\bigr) + i\sin\bigl(6\cdot\tfrac{4\pi}{3}\bigr)\bigr] = 64\bigl[\cos(8\pi) + i\sin(8\pi)\bigr].

Passo 4

Sabendo que \cos(8\pi)=1 e \sin(8\pi)=0, vem
z^{6} = 64\cdot(1 + i\cdot0) = 64.

Resposta

O valor de \bigl(-1-\sqrt{3}\,i\bigr)^{6} é 64.

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